微元法

微元法（），也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法，是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

概述
在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。

历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是角度、线段、面、体，还可以是时间、位移、功等等，积分便是这些“无限小过程”之和，在求解力学量和物理量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。

当微积分的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。

内容
假设在某一实际问题中，对于给定的连续函数y=f(x)，量Q有以下三个特点：

1.一方面，Q是由区间[a,b]所决定的常量，不妨记之为Q([a,b])。另一方面，当考虑右端点变动的区间a,x又依赖于x而成为变量，也就是说，它又是x的函数而简记为Q(x)。

2.对于[a,b]的每个子区间，Q都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若[\alpha,\beta]\subset[a,b],[\beta,\gamma]\subset[a,b]，则
:Q([\alpha,\gamma])=Q([\alpha,\beta])+Q([\beta,\gamma]).

3.部分量\Delta Q_i的近似值可表示为f(\xi_i)\Delta x_i。

为了计算出量Q并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤：

第一步（分割、近似），将区间[a,b]进行分割，而得到

:a=x_0 ,

并求出Q([x_i,x_{i+1}])(即\Delta Q_i)的近似值f(\xi_i)\Delta x_i。

第二步（求和、取极限），将f(\xi_i)\Delta x_i关于i从0到n-1求和得到

:Q([a,b])=\sum_{i=0}^{n-1} Q([x_i,x_{i+1}]) \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\Delta x_i

令max\left\{ \Delta x_i \right\}\rightarrow 0取极限，由于连续函数f(x)的可积性，最后得

:Q([a,b])=\int_{a}^{b} f(x)\, dx

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道Q(x)=Q([a,x])=\int_{a}^{x} f(x)\, dx (a

如果略去足码i，而将任意的小区间记为[x,x+dx]，并取Q([x,x+dx])的近似值为f(x)dx，由微分形式的微积分基本定理可知，它恰恰是Q(x)的微分，即dQ=dQ(x)=f(x)dx 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为

第一步，在区间[x,x+dx]上计算Q的微分dQ=f(x)dx

第二步，在[a,b]上求和（求积）得

:Q=\int_{a}^{b} f(x)\, dx

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而dx及dQ则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是连续函数，因此微元法总是可以应用的。

注释
参考资料
*《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
*《数学分析》宋国柱等编
*《数学分析（第三版）》华东师范大学数学系编
*《高等数学（第六版）》同济大学数学系编