贝特朗判别法

贝特朗判别法（）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln{n}序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或的推论。

定理
设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是欲判断敛散性的级数，定义序列

\mathcal{B}_n=\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln n.

设它具有极限
\lim_{n\to\infty}{\mathcal{B}_n}=\mathcal{B}

那么：

• 倘若\mathcal{B}>1，级数收敛；
• 倘若\mathcal{B}，级数发散；
• 倘若\mathcal{B}=1，则级数的敛散性暂时不能确定。

证明
在中取c_n=n\ln n(n\ge2)，这样的选取是可以允许的，因为级数\sum\frac1{n\ln n}发散。

在这情形下有\mathcal{K}_{n}=n \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-(n+1) \ln (n+1)。

也可以表示成\mathcal{K}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\mathcal{B}_{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}。

其中\mathcal{B}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]=\ln n \cdot\left(\mathcal{R}_{n}-1\right)，这就得到了贝特朗判别法。

參考文獻