H2或H-square是數學及控制理論的用語，是指有平方范数的哈代空間，是L2空間的子集合，因此也是希尔伯特空间。特別的是，H2空間也是。
單位圓盤內的H2空間
一般而言，單位圓盤內L2空間的元素可以表示為
:\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{in\varphi}
而H2空間的元素可以表示為
:\sum_{n=0}^\infty a_n e^{in\varphi}.
從L2空間到H2空間的映射（令n n = 0）是orthogonal映射。
半平面中的H2空間
拉氏轉換 \mathcal{L}
:\mathcal{L}f=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt
可以理解為以下的線性算子
:\mathcal{L}:L^2(0,\infty)\to
H^2\left(\mathbb{C}^+\right)
其中L^2(0,\infty)為正實數線上平方可積函數的集合，且\mathbb{C}^+為複平面的右半平面，而且拉氏轉換也是同构（因為其可逆），而且等距同构，因為滿足下式
:\|\mathcal{L}f\|_{H^2} = \sqrt{2\pi} \|f\|_{L^2}.
拉氏轉換是-{「}-半個-{」}-傅立葉轉換，因為以下的分解
:L^2(\mathbb{R})=L^2(-\infty,0) \oplus L^2(0,\infty)
可以得到L^2(\mathbb{R})正交分解成兩個哈代空間
:L^2(\mathbb{R})=
H^2\left(\mathbb{C}^-\right) \oplus
H^2\left(\mathbb{C}^+\right).
在本質上就是佩利-维纳定理。
相關條目
- H∞
參考資料
- Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", *London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, .
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