李雅普诺夫时间
李雅普诺夫时间（Lyapunov time）是一個數學用語，是指一個動態系統出現混沌特性所需要的時間。李雅普诺夫时间的命名是為紀念亞歷山大·李亞普諾夫。李雅普诺夫时间定義為系統最大李亚普诺夫指数的倒數。 用途 李雅普诺夫时间表示系統的極限。依一般慣例，李雅普诺夫时间大約是指系統軌跡不沿著自然對數為底的指數函數軌跡，開始發散的時間。不過也有些是用以2為底或是以10為底的指數，這可以對應失去一個位元或是十進制一位數的精度。 李雅普诺夫时间用…
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平衡点 (数学)
在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。 定义 对于微分方程 :\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n 若\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=0对任意t都成立，则称\tilde{\math…
离散时间与连续时间
数学动力学中，离散时间与连续时间是对随时间变化的变量进行建模的两种可选框架。 离散时间 离散时间将变量值看做是出现在不同的、独立的“时间点”上，或等同于在每个非零时间段内保持不变，即将时间看做离散变量。因此，从一个时间段移动到下一个时间段时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种框架下，每个相关变量在每个时间段取1次值，两时间段之间的测量次数有限，通常在时间变量的连续整数值上进行。 离散信号或离散时间信号是由一系列数量组成的时间序列。不同…
欧拉盘
欧拉盘（）是一个展示圆盘在平面上旋转的动力学系统的科学教育玩具。大数学家欧拉曾经研究过该动力学系统，因而得名。后来一些科学家也曾发表论文探讨其机理。 现在市场上出售的欧拉盘一般包括一个面朝上的凹面镜和一个金属盘。金属盘上可能覆盖有一个或多个磁性贴纸。金属盘可以在镜子上旋转很长一段时间不停止。这不但归功于欧拉盘被精确打磨，还具有一个最佳化的纵横比。它的圆形边缘可以将旋转时间最大化。生活中，硬币或任何圆盘物体在类似桌子的平面上旋转的运动，和…
线性动态系统
线性动力系统是函数關係满足线性关系的动力系统。一般来说，动力系统没有解析解，而线性动力系统则可以精确求解，且具有丰富的数学性质。线性系统还可用于理解一般动力系统的定性行为，方法是计算系统平衡点，并将其近似为每个平衡点周围的线性系统。 概述 线性动力系统中，状态向量（N维向量，记作\mathbf{x}）的变化等于常数矩阵（记作\mathbf{A}）乘以 \mathbf{x}。这种变化有两种形式：流，即\mathbf{x}随时间连续变化 :…
混合鍵結圖
混合鍵結圖是用一種針對有不連續性动力系统（也就是混合系統）的圖像描述法。混合鍵結圖類似一般鍵結圖，是用能量的觀點在進行處理。不過混合鍵結圖允許連接結構的突然切換，而此切換會違反能量連續性的原則。 參考資料 延伸閱讀 Pieter Mosterman, 2001: "HyBrSim - A Modeling and Simulation Environment for Hybrid Bond Graphs" in Journal of S…
鍵結圖
鍵結圖（Bond Graph），或稱鍵圖或功率键合图，是一種可同時處理多種領域的動態系統模擬方法。 概述 鍵結圖是利用能量的觀點，以宏觀的方式，找出在許多能量系統間運作的共通處。利用能量鍵定義出「勢」與「流」的觀念。由於勢與流的乘積可以得到所通過的能量，因此可以經由能量儲存與轉換的關係，定義出廣義位能儲存元件（Capacitor），廣義動能儲存元件（Inductor），廣義阻抗元件（Resistor）等直接儲存或轉移能量的三大基本元件。…
穩定性
穩定性是數學或工程上的用語，判別一系統在偏离平衡状态后能否自动恢复及有界輸入情况下是否也產生有界的輸出。若是，稱系統為穩定；若否，則稱系統為不穩定。 參考文獻
谱子流形
动力系统中，谱子流形（SSM）是唯一的最光滑不变流形，是线性动力系统的谱子空间添加非线性因素后的非线性推广。SSM理论为线性动力系统特征空间的不变性质推广到非线性系统提供了条件，于是激发了SSM在非线性降维中的应用。 定义 考虑非线性常微分方程 :\frac{dx}{dt} = Ax + f_0(x),\quad x\in \R^n, 常矩阵\ A\in \R^{n\times n}，光滑函数中包含非线性项f_0 = \mathcal{…
正定函數 (實值連續可微函數)
一個實值、連續可微的函數f在原點附近的區域D為正定函數，其條件是 f(0)=0 f(x)>0 對於所有不為零的x\in D 若上式中的不等式改為小於，則函數f為負定函數。若以上不等式改為 \geq 或 \leq，則函數f為半正定函數或半負定函數。 在物理學中，有時會省略f(0) = 0的條件（例如Corney和Olsen）。 f在原點附近的區域D為正定函數，f在此區域原點以外的位置均大於0，只有原點會為0，因此在原點位置有區部最小值，此…
希钦系统
数学中，希钦可积系统是奈杰尔·希钦 (1987)提出的一类可积系统，取决于复约化群与紧黎曼曲面的选择。希钦系统是代数几何、李群理论和可积系统理论的交叉，通过共形场论，还在复数域上的几何朗兰兹对应中发挥重要作用。 希钦系统的0亏格类似物是卡尼尔可积系统，是勒内·卡尼尔发现的Schlesinger方程的某个极限，通过定义谱曲线解决了他的系统（卡尼尔系统是高丹模型的经典极限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的经典极限）…
多米諾骨牌效應
多米诺骨牌效应（英语：Domino effect），也称多米诺效应或骨牌效应，指一件事的发生会引发一连串连锁反应，因按一定间距排列的多米诺骨牌相继倒下得名。通常是指连续发生的一系列事件，其中连续事件发生的时间间隔相对较小。 除了字面意思，它也常用来比喻系统内的因果关系，如全球金融或政治。该词常用于暗示事件一定发生或发生的可能性极高，因为多米诺骨牌已经开始倒下；或者事件不可能发生或发生的可能性极低，如一个多米诺骨牌没有倒下。 演示效果 将…
准周期运动
数学和理论物理学中，准周期运动（quasiperiodic motion）粗略地说就是包含有限多个不可通约频率的动力系统发生的运动类型。 即，若将相空间想象成环面T（即变量像角度一样是周期的），则系统轨迹就是环绕T的曲线，而与自身不完全重合。 实线上的准周期函数是由T上函数通过对组合线性的曲线（从T提升到覆盖的欧氏空间） :R\to T 得到的函数类型（如连续）。因此它是震荡的，具有有限多基本频率。（注意，复分析中的Θ函数和魏尔斯特拉斯…
相圖 (動態系統)
的位能及相圖。其中X軸是角度，有2π的週期性]] \frac{d^2y}{dt^2}+\epsilon(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0,\quad\epsilon=1的相圖]] 相圖是在用繪圖的方式在相平面上表示動態系統的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。 在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有吸引子、排斥子或是极限环。的…
動態摩擦
在天體物理學之中，動態摩擦描述一物體在空間中移動時，受到周遭其他物體的重力影響而損失動量與動能的現象。動態摩擦最早由錢德拉塞卡於1943年時提出並且進行詳細的探討。 錢德拉塞卡動態摩擦公式 考慮一顆質量為M的目標星，假設一系統中之場星（假設質量為m_a \ll M）速度為各向同性，則該目標星所受之動態摩擦可簡單表示為 \frac{d\mathbf{v}_M}{dt} = - 16 \pi^2 G^2 M m_a \ln{\Lambda}…
階躍響應
（overshoot）、振鈴（ringing），在安定時間（settling time）後回到穩定值。]] 階躍響應是指系統在其輸入為單位階躍函數時，其輸出的變化。在電子工程或自動控制領域中，階躍響應是指系統的輸入在很短時間由0變成1時，其輸出的時域特性。此概念可以延伸到使用抽象数学概念的动力系统，以演化参数表示其特性。 分析系統的階躍響應有助於了解系統的特性，因為當輸入在長時間穩態後，有快速而大幅度的變化，可以看出系統各個部份的特性。…
双摆
双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同，是一种具有混沌性质的简单动力系统。 分析以及詮釋 可以考慮許多不同種類的双摆：二個擺的長度及重量可能相同，也可能不同。二個擺可能都是單擺，也有可能是複擺（compound pendulum），其運動可能限制在二維空間，也可以在三維空間內進行。…
非線性系統
在物理科學中，如果描述某個系統的方程其輸入（自變數）與輸出（應變數）不成正比，則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的，因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於，非線性系統可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果。 一般來說，非線性系統的行為可以用一組非線性聯立方程來描述。非線性方程裡含有由未知數構成的非線性函數；換句話說，一個非線性方程並不能寫…
几何力学
几何力学将特定的几何方法应用于许多力学领域，从质点力学和刚体力学到流体力学和控制论。 几何力学主要适用于构型空间为李群或微分同胚群的系统，更一般地说，适用于构型空间的某些方面具有此种群结构的系统。例如卫星之类刚体的构型空间是欧氏运动群（空间中的平移与旋转），而液晶的构型空间则是与内部状态（规范对称性或有序参数）耦合的微分同胚群。 动量映射与还原 几何力学的主要思想之一是还原，可追溯到雅可比在三体问题中对节点的消除；现代形式由K. Mey…
雜散振盪
雜散振盪（）是在電子設備或是數位設備中不希望出現的振盪（輸出電壓或是電流的周期變化）。一般是因為放大設備加上回授所造成，常見於、音響功率放大器及其他放大器電路以及数字信号处理。雜散振盪是控制理論中的幾個基礎議題之一。 雜散振盪因為會有以下的問題，一般不希望出現。振盪可能會耦合到其他電路，或是會發射无线电波、造成對其他設備的電磁干擾（EMI）。在音響系統中，雜散振盪會造成耳機或是喇叭出現惱人的噪音。雜散振盪也會消耗能量，造成不必要的發熱。…