在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。
阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。
概述
有三个相互联系但又有区别的定义：
- 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。
- 若这个映射还是一个微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。
- 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为阿诺索夫流。
阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（\mathcal{C}^1拓扑）。
并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。
对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。
另外，也不清楚是否每个\mathcal{C}^1且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把\mathcal{C}^1换成\mathcal{C}^2的条件下是成立的。
黎曼曲面（的切丛）上的阿诺索夫流
负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设\mathbb{H}为上半平面，\Gamma为福克斯群，M=\mathbb{H}/\Gamma为负曲率黎曼曲面，T^1M为流形M上的单位向量的切丛，T^1\mathbb{H}是\mathbb{H}的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。
李向量场
注意T^1\mathbb{H}同构于李群\text{PSL}(2,\mathbb{R})。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。\text{PSL}(2,\mathbb{R})的李代数是\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})，由以下矩阵表示
J=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \quad
X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad
Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J
指数映射
g_t=\exp{tJ}=\begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix}\quad
h^*_t=\exp{tX}=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad
h_t=\exp{tY}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}
定义了流形T^1\mathbb{H}=\text{PSL}(2,\mathbb{R})上的右不变流，而T^1M与此类似。定义P=T^1\mathbb{H},Q=T^1M，这些流定义了P和Q上的向量场。
阿诺索夫流
g_t是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在g_t下是左不变的。换句话说，空间TP和TQ分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。
精确地说，切丛TQ可以写成直和
TQ=E^+\oplus E^0\oplus E^-
这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素g=g_t的作用下不变。
要比较不同点q处T_qQ的向量的长度，需要有度量。T_eP = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量v\in E^+_q的长度在g_t的作用下指数增大。向量v\in E^-_q的长度在g_t的作用下指数衰减。E^0_q中的向量不变。测地流是不变的
g_sg_t=g_tg_s=g_{s+t}
但另外两个分别是衰减和增大的：
g_sh^_t=h^_{t\exp{(-s)}}g_s
g_th_t=h_{t\exp{s}}g_s
其中E^+_q中的切向量由曲线h_t在t=0处的导数给出。
阿诺索夫流的几何解释
当作用在上半平面的点z=i时，g_t对应了上半平面的一条过点z=i的测地线。这个作用就是\text{SL}(2,\mathbb{R})在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以
g_t\cdot i=\begin{pmatrix} \exp{(t/2)} & 0 \\ 0 & \exp{(-t/2)} \end{pmatrix}\cdot i=i\exp{t}
一般的测地线
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot i\exp{t}=\frac{ai\exp{t}+b}{ci\exp{t}+d}
式中a,b,c,d是实数，且ad-bc=1。曲线h^*_t与h_t称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。
另见
- 莫尔斯-斯梅尔系统
- 伪阿诺索夫映射
参考资料
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Y-system Y-system,U-system, C-system] ", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
- This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.
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