危機 (動態系統)
动力系统的危機（crisis）是系統的奇異吸引子會隨系統參數變化而突然出現或突然消失。這種全域分岔出現在混沌吸引力和不稳定性周期点或是穩定流形接觸的時候。隨著軌道接觸到不規則軌道，軌道也會脫離原先的吸引子，造成有特性完全不同的行為。危機可能會引發陣發混沌行為。 Grebogi, Ott, Romeiras, and Yorke將危機分為以下的三種： 第一種危機是邊界危機（boundary crisis）或外部危機（exterior cr…
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分岔理論
]] 分岔理論或分歧理论（bifurcation theory）是數學中研究一群曲線在本質或是拓扑结构上的改變。一群曲線可能是向量場內的積分曲線，也可能是一群類似微分方程的解。 分岔（bifurcation）常出現在動態系統的數學研究中，是指系統參數（分岔參數）小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓扑结构的突然改變。分岔會出現在連續系統（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程來描述）或是離散系統中 （以映射來描述）。 bifurcati…
突变理论
在数学中，突变理论是分岔理论的一个分支，用于研究动力系统的行为；它也是几何学奇点理论的一个特殊情形。 分岔理论致力于研究并分类那些由于条件发生微小变化而引起行为突然转变的现象，分析方程解的性质如何依赖于方程中所含参数。这类变化可能导致突发而剧烈的后果，例如山体滑坡发生的时间和规模往往难以预测。 突变理论起源于1960年代法国数学家勒内·托姆的研究，并在70年代由于埃里克·克里斯托弗·齐曼的推动而广为人知。该理论关注这样一种特殊情况：系统…
霍普夫分岔
在數學的分岔理論中，霍普夫分岔（）是指系統的穩定性發生變化形成一個周期极限環的臨界點。準確來說，它是動力學系統局域的分岔，局部的一個穩定不動點失穩的過程，在線性穩定性分析中表現為該不動點附近的線性矩陣出現两個共軛複數特征值。在滿足一般合理的前提下，霍普夫分岔都會形成一個小輻的极限環。霍普夫分岔亦被稱為 "Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation"。 超臨界及次臨界Hopf分岔 如果系統的第一李雅普諾夫系數(f…
鞍結點分岔
鞍結點分岔（Saddle-node bifurcation），又稱切分岔、折叠分岔，是在數學中的分岔理論描述的一種動力學系統中的局部分岔。表現為一對不動點相互靠近並最終互相碰撞導致不動點消失或其逆過程。"鞍結點分岔"一般用來描述連續性的動力學系統。在離散動力學系統中，這一種分岔一般稱為折叠分岔。 對于一維的動力學系統，參與鞍結點分岔的两個不動點中，一個為穩定不動點(穩定結點)，另一個為不穩定不動點(鞍點)。 鞍結點分岔一般與動力學系統中…
叉分岔
在數學的分岔理論中，叉分岔（Pitchfork bifurcation）是動力學系統中一個不動點變為三個不動點的一類局部分岔。叉分岔與Hopf分岔類似，有两種類型—超臨界叉分岔與次臨界叉分岔。 在以微分方程組描述的連續動力學系統中，叉分岔一般與系統的對稱性有關。 超臨界叉分岔 超臨界叉分岔的正則方程為： \frac{dx}{dt}=rx-x^3. 當 r時，系統有一個穩定不動點x=0。當 r>0時，系統有一個不穩定不動點 x=0及两個穩…