中心流形

中心流形（center manifold）是動力系統數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。

若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。
在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循牛顿运动定律。
若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統，牛頓運動定律對球的描述，只以位置、速度及旋轉方式呈現，即為變形球的中心流形
。若有一系統是由許多互相影響成份所組成，而其影響效應會快速衰減，可以用中心流形，以較簡單的方式來描述系統。

中心流形在分岔理論中有重要的地位，因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為，在中也很重要，微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。

定義
平衡點的中心流形（紅色）及不穩定中心流形（綠色）]]

动力系统的中心流形是以系統的平衡點為基礎，以球為例，就是球靜止，沒有變形的狀態。
平衡點的中心流形包括了鄰近的中，沒有快速指数衰减，也沒有快速指數增長的的軌跡。若以球來說，中心流形中包括了球的移動及自旋運動，但不包括球的形變（因為形變會由於阻尼力而快速衰減）。

在數學上，研究动力系统平衡點的第一步是線性化，之後計算其特征值和特征向量。
其對應特徵值有負實數的特徵向量（若有的話，也包括在內）可以組成基的特徵空間。
對應特徵值有正實數的（廣義）特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。
若平衡點為（所有線性化後的特徵值，實部都不為0）。可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。

若平衡點的特徵值中，有特徵值的實部是零，則是對應的（廣義）特徵向量會組成「中心特徵空間」，以球為例，就是球在不受力下刚体动力学的整個集合。
若不只考慮線性化後的系統，將動力系統加上非線性或是外力的微擾，中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形
。
若特徵值不只是實部為零，而是特徵值的複數值為零（如球的例子），對應的特徵空間可以更準確的對應。
中心（慢）流形的行為無法由線性化來判定，因此不容易建構。

類似的道理，在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾，會讓系統變形到鄰近的穩定流形或不穩定流形
。
這三種流形是不變流形中的三類例子。

令\frac{d\textbf{x}}{dt} = \textbf{f}(\textbf{x})是动力系统，其平衡点為\textbf{x}^*，則系統在平衡點附近的線性化為

:\frac{d\textbf{x}}{dt} = A\textbf{x}, \quad \text{where } A = \frac{d\textbf{f}}{d\textbf{x}}(\textbf{x}^*).

雅可比矩阵 A可以定義以下的三種子空間：

• 穩定子空間，是由特徵值實部小於0的所生成。
• 不穩定子空間，是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。
• 中心子空間，是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。

依照應用的不同，也會分類以下的子空間，例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。
這些子空間都是線性化方程的不变子空间。

對應線性系統，非線性系統會有慢流形，每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合。

• 和穩定子空間相切，有相同維度的不變流形是穩定流形.
• 不穩定流形和不穩定子空間相切，也有相同維度。
• 中心流形和中心子空間相切，有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0，此中心流形會稱為慢流形。

中心流形的相關定理
中心流形存在定理（center manifold existence theorem）內容是：若函數\textbf{f}(\textbf{x}) 是C^r（r次的連續可微），則針對每一個平衡點，都存在一個有限大小的鄰域，使得以下三項敘述，至少會有一項成立：

• 唯一的C^r穩定流形
• 唯一的C^r不穩定流形
• （可能不唯一的）C^{r-1}中心流形

像非線性的座標轉換為就可以清楚的分出這三種流形。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算。

若在那些沒有不穩定流形的例子中，中心流形一般會和建模有關。
中心流形出現定理提到可以選擇鄰域，使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解\textbf{y}(t)的範圍內。
也就是說
\textbf{x}(t)=\textbf{y}(t)+\mathcal{O}(e^{-\beta' t}) \quad\text{as }
t\to\infty\,,
會以某速率值\beta'進行
。
此定理也確保針對多許多的初始條件，整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。

第三個定理是近似定理，若針對某不變流形（例如\textbf{x}=\textbf{X}(\textbf{s})），有近似表示式滿足系統的微分方程，當\textbf{s}\to\textbf{0}時，其residuals為\mathcal{O}(|\textbf{s}|^p)，則不變流形可以用\textbf{x}=\textbf{X}(\textbf{s})來近似，其誤差也是同一量級的，例如是\mathcal{O}(|\textbf{s}|^p)。

另一種反向分析
上述的理論都是針對特定問題，想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。
另一種方式是針對給定系統，找到一個近似的系統，建構此系統的不變流形，這稱為反向分析。
目的是將理論應用到範圍更廣的系統中，並估計誤差以及有效域的大小

。

此方法和數值建模中公認的完全相同。

中心流形以及非線性系統的分析
平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關，中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題，這可以由中心流形約化（center manifold reduction）來分析，再配合系統參數μ，可以引到分岔理論的概念。也有些網站可以進行相關計算。

例子
簡單的例子
考慮以下系統
: \dot x=x^2,\quad \dot y=y.
在原點的不穩定流形為y軸，穩定流形為平凡集{(0, 0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式y=Ae^{-1/x}，其中A為實數的常。可以推得針對任意的A，可以創建中心流形，方式是將y=Ae^{-1/x}，x > 0的部份，和x為非正值的X軸連接。而且，所有的中心流形都有潛在的非唯一性，不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。

时滞微分方程
另一個例子可以用中心流形來為霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是發生在以下的时滞微分方程

:{dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^2-x^3

參數a\approx 4的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。
不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。

定義u_1(t)=x(t)
以及適當的时滞變數
x(t-1)\approx u_3(t)，利用其中間值
{du_2}/{dt}=2(u_1-u_2)及
{du_3}/{dt}=2(u_2-u_3).

在接近臨界值的參數a=4+\alpha，时滞微分方程可以用以下系統來近似
: \frac{d\textbf{u}}{dt} =\left[\begin{array}{ccc} 0&0&-4\\
2&-2&0\\ 0&2&-2 \end{array}\right] \textbf{u} +
\left[\begin{array}{c}-\alpha u_3-2u_1^2-u_1^3\\ 0\\
0\end{array}\right].
透過網頁服務，可以找到相量s(t)
以及其共軛\bar s(t)，中心流形為
: \textbf{u}=\left[\begin{array}{c} e^{i2t}s+e^{-i2t}\bar s\\
\frac{1-i}2e^{i2t}s +\frac{1+i}2e^{-i2t}\bar s\\
-\frac{i}2e^{i2t}s +\frac{i}2e^{-i2t}\bar s
\end{array}\right]
+{O}(\alpha+|s|^2)
中心流形的演進為
: \frac{ds}{dt}= \left[
\frac{1+2i}{10}\alpha s
-\frac{3+16i}{15}|s|^2s
\right] +{ O}(\alpha^2+|s|^4)
從此演進可以看出，系統在\alpha>0\ (a>4)時，在原點是線性的不穩定，但三次非線性使其有穩定的極限環，就像經典霍普夫分岔的結果一樣。

參考資料

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外部連結