重言1形式

在数学中，重言 1-形式（）是流形 Q 的余切丛 T^{}Q 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 T^{}Q 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。

在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出：
:\theta = \sum_i p_i dq^i\ .

在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。

典范辛形式由

:\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i\ ,
给出。
无坐标定义
重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设 Q 是一个流形，M=T^*Q 是其余切空间或者说相空间。设

:\pi:M\to Q\ ,

是典范纤维丛投影，令

:T_\pi:TM \to TQ\ ,

是 \pi 诱导的前推。设 m 是 M 上一点，然而因为 M 是余切丛，我们可将 m 理解为切空间上一个函数，在 q=\pi(m) 点为：

:m:T_qQ \to \mathbb{R}\ .

这样，我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式 \theta_m 在点 m 定义为

:\theta_m = m \circ T_\pi\ .

这是一个线性函数

:\theta_m:T_mM \to \mathbb{R}\ ,

所以

:\theta:TM \to \mathbb{R}\ ,

是流形 M=T^*Q 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

性质
重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说：若

:\beta:Q\to T^*Q

是 Q 上任意一个 1-形式，而 \beta^* 是其拉回。那么

:\beta^*\theta = \beta\ ,

以及

:\beta^*\omega = -d\beta\ .

这些都可以用上一节的定义直接得到，如果写成局部坐标的形式就最好理解：

:\beta^\theta = \beta^\sum_i p_idq^i =
\sum_i \beta^*p_idq^i = \sum_i \beta_idq^i = \beta \ .

作用量
如果 H 是余切丛上一个哈密顿向量场，而 X_H 是其哈密顿流，那么相应的作用量 S 为

:S=\theta (X_H)\ .

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用作用量-角度坐标传统记法：

:S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i\ ,

这里积分理解为在流形上的维持能量 E 为常数 H=E=\text{const} 的子集上进行。

在度量空间上
如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g，那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地，如果我们取度量为映射

:g:TQ\to T^*Q\ ,
这样便定义了

:\Theta = g^*\theta

和

:\Omega = -d\Theta = g^*\omega

在 TQ 上的广义坐标中 (q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n) ，我们有

:\Theta=\sum_{ij} g_{ij} \dot q^i dq^j

以及

:\Omega= \sum_{ij} g_{ij} \; dq^i \wedge d\dot q^j +
\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \;
\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k\ .

度量使我们可定义 T^*Q 上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。

又见

• 基本类

参考文献

• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
• 贺龙广，辛几何与泊松几何引论，首都师范大学出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9