在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。
哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。
定义
假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 TM 与余切丛 T^*M 的一个线性同构
: \omega:TM\to T^*M
以及逆
: \Omega:T^*M\to TM, \quad \Omega=\omega^{-1}\ .
从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 H:M\to\mathbb{R} 确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH)，称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式
:\mathrm{d}H(Y) = \omega(X_H,Y)\ ,
一定成立。
注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。
例子
假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 (q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n)，在这个坐标系下辛形式表示为
:\omega=\sum_i \mathrm{d}q^i \wedge \mathrm{d}p_i.
则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式
:X_H = \left( \frac{\partial H}{\partial p_i},
- \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega\,\mathrm{d}H\ ,
这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵
:\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}\ .
假设 M = R2n 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。
- 如果 H=p_i 则 X_H=\partial/\partial q^i\ ;
- 如果 H=q^i 则 X_H=-\partial/\partial p^i\ ;
- 如果 H=1/2\sum (p_i)^2 则 X_H=\sum p_i\partial/\partial q^i\ ;
- 如果 H=1/2\sum a_{ij} q^i q^j, a_{ij}=a_{ji} 则 X_H=-\sum a_{ij} p_i\partial/\partial q^j\ .
性质
- 映射 f\mapsto X_f 线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。
- 假设 (q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n) 是 M 上的典范坐标。则曲线 \gamma(t)=(q(t),p(t)) 是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：
:\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}\ .
- 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是 H(\gamma(t)) 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。
- 更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。
- 辛形式 \omega 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数 \mathcal{L}_{X_H} \omega=(\iota_{X_f}\circ d+d\circ\iota_{X_f})\omega=d\circ d f=0 \ . 这里 \iota 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。
泊松括号
哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义
:\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)= df(X_g) = \mathcal{L}_{X_g} f\ ,
这里 \mathcal{L}_X 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：
: X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g],
这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：
:\begin{align}
&\iota_{[X_f,X_g]}\omega\\
=&(\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}-\iota_{X_g}\circ\mathcal{L}_{X_f})\omega \\
=&\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}\omega \\
=&(\iota_{X_f}\circ d+d\circ\iota_{X_f})d g \\
=&d (\iota_{X_f})d g) \\
=&-d \{f,g\} \\
\end{align}
作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。
: \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,
这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射
f\mapsto X_f 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M 连通则为常数）。
参考文献
- See section 3.2.
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