交比

数学上，複平面上四点的交比是
:(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}。

这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面，即複平面加上无穷远点。

一般来说，交比可以定义在射影直线（黎曼球面就是複射影直線）。在任何仿射坐标卡中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说射影变换保持交比不变。
从前人们注意到如果四条直线穿过一点P，第五条直线L不穿过P，分别与四条直线交于四点，那么在L上按序取四点的有向长度，所算出的交比是独立于L。它是这四直线系的不变量。

四个複数的交比为实数当且唯当四点共线或共圆。

对称
各著作对交比有不同定义，不过各定义只相异于某些坐标的置换。一般来说，根据点z_i所给出的各种次序，交比可以取六个不同的值。因为四个坐标有24种排列，有些置换保持交比不变。实际上，任意两对坐标对换保持交比：

:(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)\,。

运用这些对称，交比就有6个可能值，由点的次序决定：

从群论来说，对称群S_4以置换坐标来作用于交比上，这群作用的核为克莱因四元群（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其商群，同构于S_3。

对某些\lambda值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些\lambda值对应于S_3对黎曼球面的作用的不动点（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。

第一个这样的集合是\{0, 1, \infty\}。但若四点z_i相异，交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值：
:(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,
:(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,
:(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty\,

第二个这样的集点是\{-1, \frac{1}{2}, 2 \}。这情况古典上称为「谐和交比」。最对称的交比是当\lambda = e^{\pm i\pi/3}。这时交比只可能是这两个值。

从变换出发
交比为黎曼球面的射影变换所保持，也称为莫比乌斯变换：

:f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad ad-bc \ne 0。

所谓它们保持交比就是指

:(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4)\,。

作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质：任意3点集要映射到另外的3点集，都存在唯一的麦比乌斯变换。（这个群作用有3重传递性。）所以给出黎曼球面上4点，有唯一变换把其中3点映射到点0，1，和∞。第四点映射到的点，与原来四点的交比有关。

要看到这点，注意到

:(z,1;0,\infty) = \lim_{w\to\infty} \frac{z(1-w)}{z-w} = z\,。
所以给出四点 (z_1, z_2; z_3, z_4)可以找到唯一变换f作映射
:z_2 \to 1,\; z_3 \to 0,\; z_4 \to \infty。
点z_1就被映射到(z_1, z_2; z_3, z_4) = f(z_1)。换个角度看，若把交比看为z_1的函数，交比是唯一的变换把点(z_2, z_3, z_4)映射到(1,0,\infty)。

高等观点
若四点走近，这理论便有了微分学的一面，从而引领至施瓦茨导数理论，还有更一般的射影联络理论。这些理论被应用在共形场论。