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单应性

Wikipedia · 2026-05-30 维基百科 👁 1 阅读

单应性是几何中的一个概念。单应性是一个从实射影平面到射影平面的可逆变换，直线在该变换下仍映射为直线。具有相同意义的词还包括直射变换、射影变换和射影性等， 不过“直射变换”也在更广义的范围内使用。

形式化地说，射影变换是一种在射影几何中使用的变换：它是一对透视投影的组合。它描述了当观察者视角改变时，被观察物体的感知位置会发生何种变化。射影变换并不保持大小和角度，但会保持重合关系和交比——两个在射影几何中很重要的性质。射影变换形成了一个群。

对于更广义的射影空间——具有不同维度或不同的域——来说，“单应性”代表射影线性变换（由其相关的向量空间的线性变换导出的可逆变换），而“直射变换”（意为“把直线映射为直线”）更为广义，它既包含了单应性，也包含了自同构直射变换（由域自同构导出的直射变换），或者是这两者的组合。

计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域中，空间中同一平面的任意两幅图像通过单应性关联在一起（假定是针孔相机）。比如,一个物体可以通过旋转相机镜头获取两张不同的照片(这两张照片的内容不一定要完全对应,部分对应即可),我们可以把单应性设为一个二维矩阵M,那么照片1乘以M就是照片2。
这有着很多实际应用，比如图像校正、图像对齐或两幅图像之间的相机运动计算（旋转和平移）等。一旦旋转和平移从所估计的单应性矩阵中提取出来，那么该信息将可被用来导航或是把3D物体模型插入到图像或视频中，使其可根据正确的透视来渲染，并且成为原始场景的一部分（请见增强现实）。

如果两幅图像之间的相机运动只有旋转而没有平移，那么这两幅图像通过单应性关联在一起（假定是针孔相机）。

3D的平面到平面公式
我们有两个相机a和b，这两个相机都向某平面中的点P_i看去。

把P_i的投影从b中的{}^bp_i转换到a中的点{}^ap_i：

:
{}^ap_i = K_a \cdot H_{ba} \cdot K_b^{-1} \cdot {}^bp_i

其中H_{ba}是

: H_{ba} = R - \frac{t n^T}{d}

R是旋转矩阵，通过该矩阵b关于a旋转；t是从a到b的平移向量；n和d分别是平面的法向量和相機到平面的距离。

Ka和Kb是相机的内参数矩阵。

此图显示相机b在距离d处看向平面。

提示：从上图中可知，n^T P_i是向量P_i到n^T的投影，且等于d。因此\frac{t n^T}{d} P_i = t。而且我们有H_{ba} P_i = R P_i - t。

数学定义
齐次坐标以矩阵乘的方式来表示射影变换，因为使用笛卡儿坐标的话，矩阵乘无法执行透视射影所必需的除法运算。换句话说，透视射影在笛卡儿坐标下不是线性变换。

给定：

:p_a = \begin{bmatrix} x_a\\y_a\\1\end{bmatrix}, p^\prime_b = \begin{bmatrix} w^{\prime}x_b\\w^{\prime}y_{b}\\w^{\prime}\end{bmatrix}, \mathbf{H}_{ab} = \begin{bmatrix} h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33} \end{bmatrix}
则：

:p^\prime_b = \mathbf{H}_{ab}p_a \,

其中：

:\mathbf{H}_{ba} = \mathbf{H}_{ab}^{-1}.

也即：

:p_b = p^\prime_b/w^\prime = \begin{bmatrix} x_b\\y_b\\ 1\end{bmatrix}

仿射单应性
当要计算单应性的图像区域比较小，或者图像要求焦距较长时，仿射单应性是更合适的模型。仿射单应性是广义单应性中的一种，它的最后一行固定为

: h_{31}=h_{32}=0, \; h_{33}=1.

参见

  • 外极几何
  • W曲线

参考文献
*

外部链接
*M. Lourakis' [http://www.ics.forth.gr/%7elourakis/homest/ homest] is a GPL C/C++ library for robust, non-linear (based on the Levenberg-Marquardt algorithm) homography estimation from matched point pairs. homest can estimate fully projective and affine homographies with a variety of objective functions.
OpenCV is a complete (open and free*) computer vision software library that has many routines related to homography estimation ([https://web.archive.org/web/20110720065243/http://opencv.willowgarage.com/documentation/camera_calibration_and_3d_reconstruction.html#findhomography cvFindHomography]) and re-projection ([https://web.archive.org/web/20110722044226/http://opencv.willowgarage.com/documentation/operations_on_arrays.html#perspectivetransform cvPerspectiveTransform]). Download and documentation information is on the [https://web.archive.org/web/20091029150308/http://opencv.willowgarage.com/wiki/ OpenCV Wiki].
*[http://www.robots.ox.ac.uk/%7Evgg/presentations/bmvc97/criminispaper/node3.html Computing the plane to plane homography]
*[http://www.cse.iitd.ac.in/~suban/vision/geometry/node24.html How to compute a homography]
*[http://www.robots.ox.ac.uk/%7Evgg/hzbook/code/ MATLAB Functions for Multiple View Geometry] Matlab functions for calculating a homography and the fundamental matrix

#计算机视觉中的几何 #射影几何

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