设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果：
（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且
（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，
则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（）。
也就是说，
如果
: \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0
且
: \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle = 0
则
: \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle = 0.
這個定理是帕斯卡定理的一個特例，當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。
证明
设
: \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle
: \beta = \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle
: \gamma = \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle
我们需要证明如果\alpha = 0且\beta = 0，则\gamma = 0。
第一步
利用恒等式
: \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle
可将\alpha、\beta及\gamma表述为以下形式：
: \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle
: \beta = \langle Y \times W, U \times Z, X \times V \rangle
: \gamma = \langle X \times Z, Y \times V, U \times W \rangle
第二步
利用恒等式
:\langle A,B,C\rangle = A \cdot (B \times C)
:A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C
可得
: \alpha = (U \times V) \cdot ((X \times W) \times (Y \times Z))
: \beta = (Y \times W) \cdot ((U \times Z) \times (X \times V))
: \gamma = (X \times Z) \cdot ((Y \times V) \times (U \times W))
以及
: \alpha = (U \times V) \cdot (\langle X,W,Z\rangle Y - \langle X,W,Y\rangle Z)
: \beta = (Y \times W) \cdot (\langle U,Z,V\rangle X - \langle U,Z,X\rangle V)
: \gamma = (X \times Z) \cdot (\langle Y,V,W\rangle U - \langle Y,V,U\rangle W)
第三步
利用数量积的分配律，可得：
: \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
: \beta = \langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle - \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle
: \gamma = \langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle - \langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle
第四步
利用恒等式
: \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle
: \langle A,B,C\rangle = -\langle A,C,B\rangle = -\langle C,B,A\rangle = -\langle B,A,C\rangle
可得：
: \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
: \beta = -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle + \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle
: \gamma = \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle - \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle
第五步
把这些等式相加，得：
: \alpha + \beta + \gamma = 0
: \gamma = -(\alpha + \beta)
因此，如果\alpha = 0且\beta = 0，则\gamma = 0。
证毕。
参见
- 布列安桑定理
- 帕斯卡定理
- 笛沙格定理
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