等轴测投影（Isometric projection）又稱等角投影是技术制图和工程图中，一種在二維平面呈現三維物體的方法，屬於軸測投影的一種，三條坐標軸的投影缩放比例相同，並且任意兩條坐標軸投影之間的角度都是120度。
概述
等轴测投影图可通过使各坐標軸的投影之間角度相等(120°)的視角来获得。以立方體為例，先從一个面正视观察，然後将立方体绕纵轴旋轉±45°，接著将立方体绕横轴旋轉約±35.264° (準確值为 arcsin 或arctan )。立方體的等轴测投影图(右圖左上)是正六边形：所有黑線長度相等，每个面的投影面積相同。利用等轴测格紙可以无需計算而绘制等轴测投影图。
等轴测投影的视角可以看成是從立方體的頂點看向對面頂點，则x軸为立方體右侧面右下延伸对角线、y軸为左侧面左下延伸对角线、z軸为顶面向上延伸对角线。从此视角投影，各坐标軸的投影彼此成120°。
數學
根据觀察卦限的不同，有8種不同的等轴测投影视角。以第一卦限為例，三維上的點a等轴测投影到二維上成點 b，數學上可以寫成旋轉矩陣：
:
\begin{bmatrix}
\mathbf{c}_x \\
\mathbf{c}_y \\
\mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & {\cos\alpha} & {\sin\alpha} \\
0 & { - \sin\alpha} & {\cos\alpha} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\cos\beta } & 0 & { - \sin\beta } \\
0 & 1 & 0 \\
{\sin\beta } & 0 & {\cos\beta } \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathbf{a}_x \\
\mathbf{a}_y \\
\mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}
\sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\
1 & 2 & 1 \\
\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathbf{a}_x \\
\mathbf{a}_y \\
\mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}
其中 α = arcsin() ≈ 35.264° 且 β = 45°。
接著正投影到xy平面:
:
\begin{bmatrix}
\mathbf{b}_x \\
\mathbf{b}_y \\
0 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathbf{c}_x \\
\mathbf{c}_y \\
\mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}
另外7種符合等轴测投影視角，可以藉由反方向旋轉或鏡像來達成。
歷史與局限
等轴测投影的概念以经验形式存在了數個世紀，然后由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。 十九世紀中期，等轴测投影成為工程師的重要工具，不久之後等轴测投影和軸測投影进入歐美國家的建築學課程中。 然而，有观点认为軸測投影發源於中國，在中國藝術中起的作用，就如同透視投影之於西洋藝術，随着视觉计算的出现，軸測投影和相關繪圖法則對電腦圖學 亦有所幫助。
如同各種方法，等轴测投影繪製的物體不會因為物體距离观察者的遠近而改變大小。雖然有利于建築圖直接測量長度，但卻會造成視覺失真，不像透視投影这种人类视觉和摄像使用的成像方式。等轴测投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這点可被用來創造谬图，如无限循环阶梯。
在视频游戏和像素畫上的用途
二十世纪八九十年代，受限于當時的微電腦计算能力，等轴测投影能提供有限的3D效果，因而被用于视频游戏中，例如當時的機台遊戲《立體空戰》。
等轴测投影也被用于精靈图和像素畫，用來呈現復古遊戲的風格。
參見
- 三维投影
*
注釋與參考
外部連結
- [http://www.gandraxa.com/isometric_projection.xml Isometric Projection]
Perspektive#Isometrische Axonometrie, nach DIN 5
Assonometria#Assonometria isometrica
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