晶体学限制定理
晶体学限制定理的基本形式是基于对晶体的旋转对称性通常被限制为2重，3重，4重，6重的观察后得出的。然而，准晶体中可能存在着其他种类的衍射对称性，例如5重对称；这种晶体是由丹·谢赫特曼于1984年发现的，他也凭此获得了2011年诺贝尔化学奖。 晶体模型是由离散的晶格通过一系列独立有限的平移建立的。因为离散性要求格点间的间距有一个下限值，所以该晶格对于空间中任意一点的旋转对称群必须是有限群。这个理论的重点在于，并不是所有的有限群都能兼容一个…
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三維點群
幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群O(3)的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。O(3)本身則是全體等距同構的歐氏群E(3)的子群。 立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。 立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以…
可解群
在數學的歷史中，群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式（平方根、立方根等等及其和與積）表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。 一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列 :G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright…
换位子群
在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 [G,G]、G' 或 G^{(1)} 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 G 的正规子群，换位子群 G' 是使得 G 对它的商群 G/G' 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 G 的可交换程度，根据换位子的定义 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}, x 与 y 交换，即 xy=yx, 当且仅当 [x,y]=e, 即，群…
主齐性空间
结构]] 数学上，对于 群 G的主齐性空间，或者叫 *G-旋子*（英文：torsor），是一个集合 X， G在其上自由并可递地作用。也即，X是G的齐性空间，满足每个点的定点子群都是平凡群。 在其它范畴中有类似的定义，其中 G是一拓扑群， X是一拓扑空间，而作用是连续的， *G是一李群， X是一光滑流形而作用是光滑的， *G是一代数群， X是一代数簇而作用是正则的。 定义 若 G是非交换的，则必须根据作用是在左或右分清左或右主齐性空间。本…
诺特群
在群论中，诺特群()是指群使得其子群满足升链条件。 定义 设G是一个群。那么以下条件等价，满足此条件的群称为诺特群。 G的子群格 \operatorname{Sub}(G)满足升链条件。 G的所有子群都是有限生成群。 性质 关于诸运算的封闭性 诺特群的子群以及商群是诺特群。诺特群被诺特群的扩张仍是诺特群。 诺特可解群 对于群G，以下条件等价。 多循环群被有限群的扩张是诺特群。其逆不成立，也就是说一个诺特群可能不具有指数有限的多循环正规子…
群
{{About|基本概念|-{zh-cn:高阶; zh-tw:進階;}-的主題|群論}} 的所有可能重新排列形成一個群，叫做魔方群。]] 在數學中，群（）是指配備二元運算的集合，其二元運算需要具有結合律、單位元和逆元素。因為眾多數學結構都是群（如整數系配備上加法就形成一個群），因而可以簡潔地從不同的數學結構歸納出共通的結果，这使群成為當代數學的核心概念。 很多自然界的變換（如平移、鏡射）的匯總都符合群的定義，而某群變換下保持不變的某種性…
牛頓恆等式
数学中，牛頓恆等式（）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。 牛顿在不知道先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量理論、群论、组合學，也被进一步应用於数学之外，如广义相对论。 数学陳述 對稱多項式 令 x_1, \cdots ,x_n為變量，定義k\geq 1且 p_k(x_1, \cdots, x_n)為k階 冪和: : p_k(x_1,\ldot…
楊對稱化子
楊對稱化子（），是表示論中的一種工具，用於構造對稱羣{S}_n的不可約表示。 定義 {S}_n是 n次对称群 \mathbb{C}{S}_n是{S}_n的羣環 \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \cdot \cdot \cdot , \lambda_k)表示一個楊圖 其中\lambda_1+ \cdot \cdot \cdot + \lambda_k = n是n的整數分拆。 P=\{g\in{S}_n|楊…
伽罗瓦群
伽罗瓦群（）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。 用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。 定义 设有域扩张。考虑所有上的自同构集合。此处的自同构指的是映射到的域同构，且其限制在上的部分是…
向量空间
的）對象的集合]] 向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。 正式定義 給定域 \left(K,\,+,\,\times\right) 和某集合 V ，它們具有了以下兩種运算（函数）： 向量加法 \oplus:V \times V \to V （其中 \oplus(u,\,v) 慣例上簡記為 u \o…
算术群
在数学中，算术群是一种群，它是由代数群的整数点所导出。一个典型的例子是\mathrm{SL}_2(\Z)。 算术群在研究二次型的算术性质以及数论中其他经典课题时自然而然地出现。它们也产生了非常有趣的黎曼流形实例，因此是微分几何和拓扑学关注的对象。最终，这两个领域在自守形式（automorphic forms）理论中汇合，而自守形式理论是现代数论的基石。
离散对数
在整數中，離散對數（）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 \log_b a 是指對於給定的 a 和 b，有一個數 x，使得b^x=a。相同地在任何群 G中可為所有整數 k 定義一個冪數為 b^k，而離散對數 \log_b a 是指使得 b^k=a 的整數 k 。 離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇…
可逆元
单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 R \,內的可逆元是指一 R \,的可逆元素，即一元素 u \,使得存在一於 R \,內的 v \,有下列性質： uv = vu = 1_R \,，其中 1_R \,是乘法單位元。 亦即， u \,是 R \,內乘法 幺半群}-的一可逆元素。 可逆元群 :主条目：单位群 R \,的可逆元組成了一於乘法下的群 U(R) \, ，稱做 R \,的可逆元群（或单位群）。可逆元群 U(R) \,…
伯恩赛德引理
伯恩赛德引理（），也叫伯恩赛德计数定理（），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（）或轨道计数定理（），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于。 下文中，设 G 是一个有限群，作用在集合 X 上。对每个属于 G 的 g ，令…
同构基本定理
同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。 历史 同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐…
共轭类
数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。 在同一个共轭类上取常值的函数称为類函數。 定义 對於群 G 中的元素 g 和 n ， gng^{-1} 稱為 n 關於 g 的共轭。類似地，對元素 a 和 b ，如果存在元素 g 使得 b = gag^{-1} ，可以稱 a 和 b 共轭。…
中心化子和正规化子
群论中，一個群 G 的子集 S 的中心化子（）C_G(S) 是 G 中與所有 S 的元素滿足交換律的元素組成的集合； S 的正规化子（） N_G(S) 是 G 中使 S 關於 g 的共軛類等於 S 的元素 g 組成的集合，此條件較上述中心化子的條件弱。 中心化子和正規化子都是 G 的子群。它们分别給出對 S 的元素和 S 整體的限制。對某些子集 S ，这些子群能夠給出關於群 G 结构的信息。 定義 中心化子 令 G 為一個群， S 為 …
HNN擴張
數學上，HNN擴張（）是組合群論中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家Graham Higman、Bernhard Neumann、Hanna Neumann在1949年的論文Embedding Theorems for Groups提出。給定一個群中兩個同構子群及其間的群同構，這個構造法將這個群嵌入到另一個群中，令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。 構造法 若G為群，有展示G = 〈S|R〉，又若 α : H → K是G的兩個子…
赫尔曼–莫甘记号
在几何学中，赫尔曼–莫甘记号（Hermann–Mauguin notation）是一套用于标记点群，和空间群中的对称要素的表示法，得名于德国晶体学家赫尔曼·卡尔（于1928年提出）和法国矿物学家查尔斯-维克多克·莫甘（于1931年修改）。1935年，在国际晶体学手册（International Tables For Crystallography）发表第一版时，赫尔曼–莫甘记号就被采用为标准记法，因而赫尔曼–莫甘记号有时也被称作国际记号…