三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群O(3)的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。O(3)本身則是全體等距同構的歐氏群E(3)的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群SO(3)之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。n階考克斯特群是由n個鏡射生成，可以表示。則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

群結構
SO(3)是直接歐氏群E^+(3)的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。SO(3)僅含保持原點不變的直接等距同構。

O(3)則是SO(3)與點反演生成的群\{I, -I\}的直積：（此處點反演以其矩陣-I表示，即單位矩陣I乘上-1。）
:O(3) = SO(3) \times \{I, -I\}.

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，O(3)中僅由直接等距變換組成的子群H（必包含在SO(3)中，亦與O(3)中含有點反演的子群K一一對應。對應關係如下：

:K = H \times \{I, -I\},
:H = K \cap SO(3).
例如，若H為C_2，則K為C_\mathrm{2h}；若H為C_3，則K為S_6。（定義載於下文。）

若直接等距同構群H有為2的子群L，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

:M = L \cup \left(( H \setminus L) \times \{-I\} \right),

含有間接等距變換，但不含點反演。式中(A, I)與A視為等同。舉例H為C_4，而M為S_4。

換言之，M是將H \setminus L中的變換，乘上-I得到。此群M作為抽象群與H同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，k重旋轉的循環群C_k皆是O(2)和SO(2)的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的k重循環群C_k，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為2的子群必正規，C_n在C_{n\mathrm{v}}中正規，也在C_{n\mathrm{h}}中正規。此處C_{n\mathrm{v}}是向C_n添加過旋轉軸的反射面生成，而C_{n\mathrm{h}}則是向C_n添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換
\mathrm R^3的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群O(3, \mathbb R)，簡記為O(3)。其元素分類如下：
*子群SO(3)中：
**單位（恆等變換）；
**繞過原點某軸的旋轉，且角度不為180^\circ；
**繞過原點某軸的旋轉，且角度為180^\circ；
*及以上變換但額外乘上點反演（將向量x映去-x），即：
**點反演；
**繞過原點的某軸，作角度不為180^\circ的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
**關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

共軛
比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群H_1, H_2在O(3)中為共軛子群，即存在g \in O(3)，使H_1 = g^{-1} H_2 g。

舉例：
*兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
*同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉g，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的g不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取g為旋轉。（但空間群則不然，有11對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

無窮等距變換群
有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為\pi的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群O(3)的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論O(3)的拓撲閉子群：
，對稱群為O(3)。]]
*整個O(3)是球對稱群、
*相應的旋轉群是SO(3)、
*其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
**添加或不添加過軸的各鏡面反射，
**另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
**最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的180^\circ旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而O(3)、SO(3)則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為\infty,\ \infty 2,\ \infty/\mathrm{m},\ \infty \mathrm{mm},\ \infty/\mathrm{mm},\ \infty\infty,\ \infty\infty\mathrm{m}，次序在下文明確給出。

有限等距變換群
三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見。

不別共軛之異，三維有限點群只有：
*7個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（）或棱柱點群（）。
*7個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
**4條三重軸、
**4條三重軸及3條四重軸、
**10條三重軸及6條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散相容：七列軸向點群中，有27個；七個其他點群中，有5個，合共32個，稱為晶體學點群。

七類軸向點群
有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數n標示。每列第n個群，含繞某軸的n重旋轉，即旋轉360^\circ / n，故n=1對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱'），另三列有其他二重旋轉軸（稱'）。該些群可以視為添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複n次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的、、。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於與。晶體群的n僅能取1, 2, 3, 4, 6（晶體學限制定理），而若移除該限制，則n可取任意正整數。七列軸向點群為：

對奇數n，有抽象群同構Z_{2n} \cong Z_n \times Z_2及\mathrm{Dih}_{2n} \cong \mathrm{Dih}_n \times Z_2 。

群C_n（包括平凡群C_1）及D_n有手性，其他則無手性。

術語水平（）與豎直（）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群Z_2，但是O(3)的不同子群（即不共軛）：
*C_\mathrm i（等同S_2）——點反演對稱
*C_2——二重旋轉對稱
*C_\mathrm s（等同C_{1\mathrm h}和C_{1 \mathrm v}）——反射對稱，又稱兩側對稱（）。

第一組單軸循環群中，C_n的階為n（二維情況同樣適用），是由單一個角度為360^\circ / n的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成C_{n \mathrm h}，階為2n。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入n塊通過軸的鏡面，則得到C_{n\mathrm v}，階亦為2n。後者是正n稜錐的對稱群。具C_n或D_n的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到n條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的180^\circ旋轉，故群不再單軸。新群的階為4n，記為D_{n \mathrm h}。其旋轉子群為2n個元素的二面體群D_n，仍有與主（n重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維，D_n包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群D_n有翻轉但無鏡射。

餘下一類是D_{n \mathrm d}（或D_{n \mathrm v}），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉180^\circ / n。D_{n \mathrm h}是正n棱柱和雙稜錐的對稱群。D_{n\mathrm d}則是正n角反棱柱的對稱群，亦是正n方偏方面體的對稱群。最後，D_n是稍稍扭過的正n棱柱的對稱群。

D_2及D_{2\mathrm h}較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。D_2是下節所有多面體對稱群的子群，而D_{2\mathrm h}則是多面體群T_\mathrm h與O_\mathrm h的子群。D_2可以作為下列化學品的對稱群：
*刀豆蛋白A等、
*四個相同的四面體形配合物、
*四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。
D_2的元素，與的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群S_n由「先關於水平面作鏡射，再旋轉360^\circ / n」生成。對於奇數n，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群C_{n \mathrm h}，階為2n，故不必用到記號S_n。然而，對偶數n，兩個群有差異，且S_n僅有n個元素。與D_{n \mathrm d}類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：
*C_{1 \mathrm h}及C_{1 \mathrm v}：階數為2，由獨一個鏡射生成。又稱C_\mathrm s。

• D_1與C_2：階數為2，由獨一個180^\circ旋轉生成。

*D_{1 \mathrm h}與C_{2 \mathrm v}：階數為4，由一個鏡射與鏡面上一條軸的180^\circ旋轉生成。
*D_{1 \mathrm d}與C_{2 \mathrm h}：階數為4，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的180^\circ旋轉生成。

S_2是由獨一個點反演生成的2階群，又記為C_\mathrm i。

此處「重複」是指作為O(3)的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的2階群，但祇有一個2階抽象群。類似，也有S_{2n}與Z_{2n}抽象同構。

群的構造亦可描述如下：

• C_n是由獨一個元素生成，生成元亦稱為C_n，是繞軸轉2 \pi /n 。群的元素是：E（單位元），C_n, C_n^2, \ldots, C_n^{n-1}，對應旋轉角0,\ 2\pi / n,\ 4\pi / n,\ \ldots,\ 2(n-1)\pi / n。該軸視為豎直軸。
• S_{2n}由獨一個元素C_{2n}\sigma_\mathrm h生成，其中\sigma_\mathrm h是水平面的鏡射。群的元素是C_n的元素，另加C_{2n} \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^3 \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^5 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1} \sigma_\mathrm h。
• C_{n\mathrm h}由C_n與反射\sigma_\mathrm h生成。群的元素是C_n的元素，另加\sigma_\mathrm h,\ C_{n} \sigma_\mathrm h,\ C_{n}^2 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{n}^{n-1} \sigma_\mathrm h。
• C_{n \mathrm v}由C_n與豎直鏡面的反射\sigma_\mathrm v生成。群的元素是C_n的元素，另加\sigma_\mathrm v,\ C_n \sigma_\mathrm v,\ C_n^2 \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_n^{n-1} \sigma_\mathrm v。
• D_n是由C_n與繞水平面上某軸180^\circ的旋轉U = \sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v，其元素是C_n的元素，另加 U,\ C_n U,\ C_n^2 U,\ \ldots,\ C_n^{n-1} U。
• D_{n \mathrm d}由元素C_{2n} \sigma_\mathrm h與\sigma_\mathrm v生成。元素是C_n的元素，加上S_{2n}與C_{n \mathrm v}的額外元素，再加上C_{2n}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^3\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^5\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v。
• D_{n \mathrm h}由元素C_n,\ \sigma_\mathrm h,\ \sigma_\mathrm v生成。其元素為C_n的元素，再加上C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ D_n的所有額外元素。

取n趨向\infty的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

七個其他點群
餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，C_n表示一條n重軸，即旋轉角為360^\circ / n ，S_n則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的，然後括號內為，然後為及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

相關的連續群有：

• 旋轉群SO(3)，即所有旋轉的群，亦記作\infty \infty或K。
• 正交群O(3)，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作\infty \infty \mathrm m或K_\mathrm h。

如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有K對稱性，則必有K_\mathrm h對稱性。

軌形記號與階
若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於2除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將2減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

無{}^或在{}^*之前的n，值為(n-1)/n；
在{}^之後的n，值為(n-1)/(2n)；
{}^與\times計為1。
此公式同樣適用於與：對該等群，特徵數之和為2，所以階數是無窮大。亦見條目。

反射考克斯特群
三維反射點群又稱為考克斯特群，能以表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成或半球面。在，該些群是[3,3]、[4,3]、[5,3]、[p,2]。不可約群的鏡面數是nh/2，其中h是群的，而n是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。

旋轉群
有限旋轉群，即SO(3)的有限子群，僅有：循環群C_n（正稜錐的旋轉群）、二面體群D_n（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、T（正四面體的旋轉群）、O（正八面體或正六面體的旋轉群）、I（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群D_3、D_4等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。

*若物體的對稱類為C_n,\ C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ S_{2n}，則旋轉群為C_n。
*若物體的對稱類為D_n,\ D_{n \mathrm h},\ D_{n \mathrm d}，則旋轉群為D_n。
*若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即T,\ O,\ I之一。

當且僅當物體有時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用、，及括號內的表示，旋轉群是：

旋轉群與其他群的對應
下列群有點反演：
*n為偶數時，C_{n \mathrm h}及D_{n \mathrm h}、
*n為奇數時，S_{2n}及D_{n \mathrm d}（特別地，S_2 = C_\mathrm i是僅由點反演生成的群，另有D_{1 \mathrm d} = C_{2 \mathrm h}屬於前項）、
*T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：
*C_{n \mathrm h}（n為偶）及S_{2n}（n為奇）對應C_n。
*D_{n \mathrm h}（n為偶）及D_{n \mathrm d}（n為奇）對應D_n。
*T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h分別對應T, O, I。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：
*C_{n \mathrm v}、
*n為奇數時，C_{n \mathrm h}及D_{n \mathrm h}、
*n為偶數時，S_{2n}及D_{n \mathrm d}、
*T_{\mathrm d}。

上述各群分別對應一個旋轉群H及其指標2的子群L，使得該群是由H的元素，加上H \setminus L經點反演後的元素得到，如上文所述：
*C_n是D_n的指標2子群，對應C_{n \mathrm v}。
*C_n是C_{2n}的指標2子群，n為奇時對應C_{n \mathrm h}，n為偶時則對應S_{2n}。
*D_n是D_{2n}的指標2子群，n為奇時對應D_{n \mathrm h}，n為偶時對應D_{n \mathrm d}。
*T是O的指標2子群，對應T_\mathrm d。

極大對稱群
離散點群中，O_\mathrm h和I_\mathrm h並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是T_{\mathrm h}。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得O_{\mathrm h}，亦可加入五重旋轉對稱而得I_\mathrm h。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：O_\mathrm h與D_{6 \mathrm h}。視乎方向，其極大公共子群為D_{3 \mathrm d}或D_{2 \mathrm h}。

按抽象群同構分類
下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：8階的四元群、9階的Z_3 \times Z_3、12階的\mathrm{Dic}_3，以及十四個16階群的其中十個。

下表中，「2階元素數」一列，數算C_2, C_\mathrm i, C_\mathrm s三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

循環群
n重旋轉對稱的對稱群為C_n。其抽象同構類是循環群Z_n，亦可記作C_n。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：
*對於偶階數2n，瑕旋轉群S_{2n}（熊夫利記號），生成元為繞某軸180^\circ / n的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。S_2也記為C_\mathrm i，由點反演生成。
*對於奇數n，有階數2n的群C_{n \mathrm h}。該群有一條n重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸360^\circ / n的旋轉，及該鏡射。C_{1 \mathrm h}又可記作C_\mathrm s，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

二面群
二維二面體群D_n有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以D_n表示的對稱群，有n條二重軸，與n重的主旋轉軸垂直，但無反射。D_n是正n棱柱、正雙n角錐、正n角反棱柱、n方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令D_n為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群\mathrm{Dih}_n，亦可照樣記為D_n。但除D_n外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

*C_{n \mathrm v}，階為2n，是正n稜錐的對稱群；
*D_{n \mathrm d}，階為4n，是正n角反稜柱的對稱群；
*對應奇數n的群D_{n \mathrm h}，其階為4n。當n = 1時，等同D_2，已於上文討論，故此處可取n \ge 3。

注意有以下同構：
:\mathrm{Dih}_{4n+2} \cong\mathrm{Dih}_{2n+1} \times Z_2.

於是可以整理出下表：（有12個晶體學點群用粗體標示，另D_{1\mathrm d}寫成等價的C_{2 \mathrm h}）

其他
C_{2n \mathrm h}的階數為4n，同構於抽象群Z_{2n}\times Z_2。在n = 1時，C_{2n \mathrm h}等同\mathrm{Dih}_2，已於上小節討論，故本小節僅考慮n \ge 2的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

D_{n \mathrm h}的階數為4n，同構於抽象群\mathrm{Dih}_n \times Z_2。對於奇數n，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為8n的群D_{2n \mathrm h}，其抽象群類別為\mathrm{Dih}_{2n} \times Z_2。（n \ge 1）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

基本域
點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

二元多面體群
考慮三維旋量群\mathrm{Spin}(3)到旋轉群SO(3)的二重覆疊投映。由於\mathrm{Spin}(3)已是單連通，故為SO(3)僅有的非平凡連通覆疊。

由，\mathrm{Spin}(3)與SO(3)的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接：\mathrm{Spin}(3)子群投映到SO(3)，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是\mathrm{Spin}(3)的子群。注意\mathrm{Spin}(3)可以等價描述成特殊酉群SU(2)，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面S^3。

有限點群的原像稱為二元多面體群，記作\langle l, n, m \rangle，與多面體群(l, m, n)對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，(2,3,5)的原像，便是\langle 2, 3, 5\rangle。

二元多面體群為：

• A_n: 正n邊形的，階數2n。
• D_n: 正n邊形的\langle 2, 2, n\rangle，階數4n。
• E_6: \langle 2, 3, 3\rangle，階數24。
• E_7: \langle 2, 3, 4\rangle，階數48。
• E_8: \langle 2, 3, 5\rangle，階數120。

該些群能按，而\mathbb C^2在二元多面體群作用下的商空間，是。

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在\mathrm{Spin}(3)\to SO(3)映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

參見
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*（空间群列表）
*小群列表
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參考文獻
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外部鏈結
*——顯示七個無窮序列的前幾項（跳過n = 5），以及其餘七個多面體群之五。
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