同构基本定理

同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史
同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同構基本定理
群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同構第一定理
給定一個群同態 f:G\to G'，根據群同態第一基本定理，我們可以把G除以f的核，使f 變成單射。

直觀來講，把一個群G除以G的子群H相當於把H裡的元素看成0(一元素）。把f的核除掉後，我們使得f(x)=0只在 x=0時才會成立，這是f的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對G/\operatorname{Ker} f\to G'進行討論。

定理：
給定G和G'兩個群，和f:G\rightarrow G'群同態。則\operatorname{Ker} f是一個G的正規子群。

證明：
記 \cdot 為G和G'的運算符號，記e和e'他們的單位元，我們可以驗證\operatorname{Ker} f 在共軛運算下封閉，即對於所有x\in G、所有h\in\operatorname{Ker} f，有x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f。

我們有f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})。由於h在\operatorname{Ker} f裡面，即f(h)=e'，我們推論f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'。因此， x\cdot h\cdot x^{-1}在\operatorname{Ker} f裡面，故\operatorname{Ker} f是G的正規子群。

\operatorname{Ker} f是G的正規子群的這個性質讓我們可以在商群G / \operatorname{Ker} f上定義一個與G的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態f : G \rightarrow G'誘導出群同構\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow \operatorname{Im} f。

我們有以下的定理：

群同構第一定理
給定G和G'兩個群，f:G \rightarrow G'群同態，則f誘導出一個從G/\operatorname{Ker} f打到f(G)的群同構。

證明：
記H為f的核。我們定義\hat f為\widehat f(xH) = f(x).

• 函數\widehat f定義良好，即\widehat f(xH)只依賴於xH而與代表x的選擇無關。理由是，若y\in G是xH的一個代表，即若xH=yH，則xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f，所以f(x)=f(y)，從而\widehat f(xH)=\widehat f(yH)。
• 由商群運算的定義，\widehat f是一個群同態。
• 群同態\widehat f滿射：對於所有y\in f(G)，存在x\in G使得f(x)=y，由此\widehat f(xH)=f(x)=y。
• 群同態\widehat f單射。理由是：考慮\widehat f的核裡的任意元素xH，則e'=\widehat f(xH)=f(x)，即x在f的核H裡面。又xH=H是G/H的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

群同構第二定理
群同構第二定理：
給定群 G 、其正規子群 N 、其子群 H ，則 N \cap H 是 H 的正規子群，且我們有群同構如下：
H/(H\cap N)\simeq HN/N

證明：

• 必須先證明HN确实是一个群，以及N限定在HN 中亦是一個正規子群，才能討論商群 HN/N。

設 hn 和 h'n' 為 HN 中的兩個元素。我們有 hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n' ，其中 hh'\in H, h'^{-1}nh'\in N (因為 N 在 G 中正規) 且 n'\in N，故 hnh'n' 在 HN 中，其證明了 HN 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 N\subset HN\subset G 的包含關係，並且 N 在 G 中正規，所以也在 HN 中正規。

• 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 j:H\hookrightarrow HN單射群同態，定義為 j(h)=h ，
取標準滿射 \sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N (值域是個群，因為 N 在 G 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 f=\sigma\circ j:H\to HN/N 定義為 f(h)=hN。

• 群同態 f 是滿射。

理由是，設 (hn)N\in HN/N ，其中 h\in H 且 n\in N 。由於 n 在 N 裡面， hnN=hN ，故hnN=f(h)。

• f 的核是 H\cap N 。

理由是， f(h)=hN 是 HN/N 的單位元，即 N 若且唯若， h 在 N 裡面。由於 h 已經在 H 裡面，所以證明這個相當於證明 h 在 N\cap H 裡面。

• 由群同構第一定理知 N\cap H 是 H 的正規子群，且其誘導出的映射 \widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N 是群同構。

如果我們弱化前提，假設 N 的正規化子包含 H (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理
群同構第三定理：
給定群 G ， N 和 M 為 G 的正規子群，滿足 M 包含於 N ，則 N/M 是 G/M 的正規子群，且有如下的群同構：
(G/M)/(N/M)\simeq G/N.

證明：
G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN 為滿射，其核為 N/M

所以可由群同構第一定理得到 (G/M)/(N/M)\simeq G/N.

环和模上的形式
将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R*上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
*将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK*表示。具体的定义是：
: H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}

推广
在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。
:设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系\Phi，可看作是A × A上的子代数。等价类A/\Phi的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理
设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系\Phi：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/\Phi同构于f的像（B的子代数）。

第二同构定理
设B是A的子代数，\Phi是A上的同余类。令[B]\Phi是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/\Phi的一个子集；\Phi_B是\Phi限制在
B × B上的部分。那么[B]\Phi是A/\Phi的子代数结构，\Phi_B是B上的同余类，并且[B]\Phi同构于B/\Phi_B。

第三同构定理
设A是一个代数结构，\Phi和\Psi是A上的两个同余关系，\Psi包含于\Phi。则\Phi定义了A/\Psi上的一个同余类\Theta：[a]~[b]当且仅当a与b关于 \Phi同余（[a]表示a所在的\Psi-等价类），并且A/\Phi同构于(A/\Psi)/\Theta。