群论中，一個群 G 的子集 S 的中心化子（）C_G(S) 是 G 中與所有 S 的元素滿足交換律的元素組成的集合； S 的正规化子（） N_G(S) 是 G 中使 S 關於 g 的共軛類等於 S 的元素 g 組成的集合，此條件較上述中心化子的條件弱。
中心化子和正規化子都是 G 的子群。它们分别給出對 S 的元素和 S 整體的限制。對某些子集 S ，这些子群能夠給出關於群 G 结构的信息。
定義
中心化子
令 G 為一個群， S 為 G 的一個子集，我們定義一個由 G 中與每一個 S 的元素 s 可交換的元素組成的集合，記做 C_G(S)；換言之，
: C_G(S) = \{ x \in G \mid \forall s \in S, xs = sx \}。
若 H 為 G 的子群且 S \subseteq H ，則 C_H(S) = C_G(S) \cap H。
特別的，當 S 為單元素集合 S = \{ a\} 時，我們會將其中心化子簡寫為 C_G(S) = C_G(a) 。
群的中心
群 G 的中心是 C_G(G) ，通常记作 Z(G) 。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将 a 的中心化子视作 G 中最大（用包含关系作為比較大小的依據）的子群 H ，使得 a 属于其中心 Z(H) 。
正规化子
S 在 G 中的正规化子记作 N_G(S) 或 N(S) 。正规化子定义为 N_G(S) = \{x \in G \mid xS = Sx\} 。同样的是， N_G(S) 是 G 的子群。
正规化子得名于 N_G(\langle S \rangle) 是 G 中包含 \langle S \rangle 且 \langle S \rangle 为 N_G(\langle S \rangle) 正规子群的最大子群，其中 \langle S \rangle 是由 S 生成的子群。
包括 \langle S \rangle 且 \langle S \rangle 為其正规子群的最小的 G 的子群称为共軛閉包。
如果 N_G(H) = H ，则子群 H 称为 G 的自正规化子群。
性质
若 G 是交换群，则任何 G 的子集的中心化子和正规化子都包含 G 所有的元素；特别地，一个群可交换，当且仅当 Z(G) = G 。
若 a 和 b 是 G 的任意元素，则 a 在 C_G(b) 中当且仅当 b 在 C_G(a) 中，这又亦等價於 a 和 b 可交换（ ab = ba ）。
若 S 為單元素集合 S = \{ a\} ，则 N_G(S) = C_G(S) = C_G(a)。
C_G(S) 总是 N_G(S) 的正规子群：若 c 属于 C_G(S) 而 n 属于 N_G(S) ，我们需要证明 n^{-1}cn 属于 C_G(S) 。
为此，取 s 属于 S 并令 t = nsn^{-1} 。则 t 属于 S ，所以 ct = tc 。注意到 ns = tn ；以及 n^{-1}t = sn^{-1} 。我们有
: (n^{-1}cn)s = (n^{-1}c)tn = n^{-1}(tc)n = (sn^{-1})cn = s(n^{-1}cn)
这也就是要证明的命题。
更一般的，我们有 Z(G) \triangleleft C_G(S) \triangleleft N_G(S) \le G 。
若 H 是 G 的子群，则 N/C 定理表明因子群 N_G(H)/C_G(H) 同构于 Aut(H)（H 的自同构群）的子群。
因为N_G(G) = G，N/C 定理也意味着G/Z(G) 同构于 Inn(G)（由所有G 的内自同构组成的 Aut(G) 的子群）。
如果我们通过 T_x(g) = xgx^{-1} 定义群同态
T_x: G \to Inn(G)，则我们可以用Inn(G)在G上的群作用来表述N_G(S)和C_G(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T_x(N_G(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T_x(C_G(S))。
共軛類方程
若 G 为有限群，考慮 S 共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，
G的核為|\ker\rho|=|Z(G)|
G的軌道為|G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|
類方程：
:|G|=|Z(G)|+\sum_{i}|G:C_{G}(x_{i})|
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