共轭类

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为類函數。

定义
對於群 G 中的元素 g 和 n ， gng^{-1} 稱為 n 關於 g 的共轭。類似地，對元素 a 和 b ，如果存在元素 g 使得 b = gag^{-1} ，可以稱 a 和 b 共轭。

對由可逆矩陣構成的一般線性群 \mathrm{GL}(n) ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩阵。

共轭是一種等价关系，因此可以 G 分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类 \mathrm{Cl}(a) 和 \mathrm{Cl}(b) 相等当且仅当 a 和 b 共轭，否则不相交。）包含群 G 中元素 a 的等价类是

:\mathrm{Cl}(a)=\{gag^{-1} \mid g \in G\}

称为 a 的共轭类。G 的类数是不同共轭类的个数。同一個共軛類中的元素的階相同。

例子
对称群S_3，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

对称群S_4，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

属性

单位元总是自成一类，也就是说\mathrm{Cl}(e)=\{e\}。
若G可交换，则gag^{-1}=a对于所有a和g属于G成立；所以\mathrm{Cl}(a)=\{a\}对于a属于G成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。
若G的两个元素a和b属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于a的命题可以转换成关于b=gag^{-1}的一个命题，因为映射\varphi(x)=gxg^{-1}是一个G的自同构。
G的一个元素a位于G的中心\mathrm Z(G)当且仅当其共轭类只有一个元素，a本身。更一般地讲，若\mathrm C_G(a)代表G中\{a\}的中心化子，也即，有所有满足ga=ag的元素g组成的子群，则指数[G:\mathrm C_G(a)]等于a的共轭类中元素的个数。

共軛群作用
令 G 為群，對任意 g,x \in G ，定義 G 關於自身的群作用

: g \cdot x = gxg^{-1} 。

x 在作用 G 上的軌道是其在群 G 中的共軛類。元素 x 的穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令 G 作用在 G 的所有子集構成的集合，有

: g \cdot S = gSg^{-1} = \{gsg^{-1} \mid s \in S\} 。

又或者是作用在 G 的子群構成的集合。

共轭类方程
若 G 为有限群，對 G 的任意元素 a ，其共軛類中的元素可以與中心化子 C_G(a) 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 b 和 c （存在 z \in C_G(a) 使得 b = cz ）對 a 的共軛相同：

: bab^{-1} = (cz)a(cz)^{-1} = czaz^{-1}c^{-1} = cazz^{-1}c^{-1} = cac^{-1} 。

由於 a 在 G 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

z 的共轭类的元素个数等於它的中心化子的指數 [G:C_G(z)] ，因而整除 G 的階。

进一步的有，对于任何群 G ，从 G 的每个元素个数大於 1 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 S = \{x_i\} 。则 G 是群的中心 Z(G) 以及 S 中所有元素的共轭类 Cl(x_i) 的不交并集。由此可得群論中重要的类方程：

: |G| = |Z(G)| + \sum_i[G : C_G(x_i)]

其中求和取遍对于每个 S 中的 x_i 的 H_i = C_G(x_i) 。注意 [G:H_i] 是 x_i 的共軛類的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子
考虑一个有限的 p-群 G （即元素數目为 p^n 的群，其中 p 是一个质数且 n > 0 ）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为 G 的任意子群的指數必须整除 G 的次数，所以每个 H_i 等於 p 的一個幂 p^{k_i} ， k_i > 0 。类方程給出

: p^n = |G| = |Z(G)| + \sum_i p^{k_i}

由於 p 整除 \sum_i p^{k_i} 和 |G| ， p 必须整除 |Z(G)| ，所以 |Z(G)| > 1。

子群和一般子集的共轭
更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义*Cl(S)为所有共轭于S的子集T*的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

:|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

作为群作用的共轭类
如果对于任意两个G中的元素g和x定义
:g.x = gxg−1
则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下
:g.S = gSg−1。

参看

参考