正规子群
在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。 沒有非平凡正規子群的群叫做單群；所有的子群都是正規子群的群叫做戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。 定义 如果群G的子群N在共轭变换下不變，N即是一個正規子群；就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g，元素gng−1仍在N中。我們寫為 :N \triangleleft G\,\,\Leftri…
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共 60 篇文章
拟群
在数学中，特别是抽象代数裡，拟群是一种类似于群的代数结构。拟群与群的相像之处是也能够进行除法运算，但拟群中并没有群所拥有的结合律。有单位元的拟群称作幺拟群或者圈（loop）。 定义 拟群的正规定义有两种，分别带有一种和三种二元运算。 代數 一个拟群 (Q, ) 是一个集合 Q 与一个二元运算 的结合（即一个原群），满足对 Q 中的任意元素 a 和 b，都存在唯一的 Q 中元素 x 和 y，使得： a x = b ； y a = b 。 …
有序交換群
定義 有序交換群係指一對 (\Gamma, >)，其中 \Gamma 為交換群，> 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件： 若 a ，則 -a > 0。 若 a, b > 0，則 a+b > 0 。 另一種等價的描述是：給定一個子集 \Gamma_+ \subset \Gamma，使得 \Gamma_+ 對加法封閉，且 \Gamma = \Gamma_+ \cup \{ 0 \} \cup -\Gamma_+。 若對於每個 x \in …
主理想定理
在数学中，类域论(代数数论的一个分支)的主理想定理指出，理想的扩張给出了從代数数域的类群到其希尔伯特类域的类群的映射，从而將所有理想类送到主理想類。这种现象也被称为主理想化。 正式命題 对于任何代数数域K和K的整数环中的任何理想I ，如果L是K的希尔伯特类域，则 : IO_L\ 是主理想\alpha O_L ，此處，O_L為L的整数环且\alpha為O_L中的元素 。 历史 大衛·希爾伯特於1902年給出主理想定理的猜想 ，这是他的類域…
无限群
在數學的群论中，无限群 是指潜在集合中含有无穷多个元素的群。如果潜在集合中有有限数量的元素，那麼它就是一个有限群。 例子 (R, +) 无限李群 无限一般线性群 Just-infinite群
漢娜·諾伊曼猜想
群論中，漢娜·諾伊曼猜想是關於一個自由群的兩個有限生成子群的交的秩，1957年由漢娜·諾伊曼提出。2011年伊戈爾·米涅耶夫（Igor Mineyev）和喬爾·弗里德曼（Joel Friedman）各自證明了這個猜想。 猜想敘述 設H, K ≤ F(X)是自由群F(X)的兩個非平凡有限生成子群， L = H ∩ K為其交，這個猜想指 :rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1). 其中對群G，ran…
嘉当-迪厄多内定理
嘉当-迪奥多内定理，乃数学中以埃利·嘉当与让·迪厄多内命名的定理，此定理所涉及的是对称双线性形式的自同构群。 定理的陈述 设 (V,b) 是特征非 2 域上的一个 n-维非退化对称双线性空间。那么，任何一个正交群 O(V,b) 中的元素都能写成不多于 n 个反射的复合。 特征 2 的域，修改一下反射的定义，结论仍然成立，除了惟一的特例：K 只有两个元素（{0,1}），V 的维数为 4，b 的维特指数为2。 参见 正交群 参考文献 Syl…
外尔群
在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 半單李群、半單李代數和半單線性代數群等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。 除去由Φ的根所定義之超平面會將歐幾里得空間切成有限個開領域，此領域稱為外尔腔。這些領域可以被外尔群的群作用…
字 (群論)
在群論中，字是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，則 xy, z-1xzz 和 y-1zxx-1yz-1 都是集合 {x, y, z} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，并是組合群論的中心研究對象。 定義 設 G 是群，并設 S 是 G 的子集。*S 形成的字*是如下形式的表達式 :s_1^{\epsilon_1} s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\e…
點群
在數學裡，點群是指固定一點不動之幾何對稱（等距同構）的群。 簡介 點群存在於任一維度的歐幾里得空間中。一個離散之有時會被稱為薔薇圖案群（rosette group），且被用來描述裝飾品的對稱性。三維點群則大量地被使用於化學之中，尤其是在描述一個分子和形成共價鍵之分子軌道的對稱性，且在一些文獻中亦會被稱成分子點群。 在每一個維度裡都有著無限多個離散點群。但晶體侷限定理說只存在有限多個和相容的離散點群。在一維裡有2個，二維裡有10個，三維裡…
怀特海问题
怀特海问题，是群论的一个重要问题，由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。 给定环\Lambda上的模A, B, R，投射模P以及正合列R \rightarrow P \twoheadrightarrow A其中第一个箭头由单同态\mu实现，记 \mathrm{EXT}_{\Lambda}(A, B)=\mathrm{Hom(R,B)}/\mathrm{Im}(\mu^{})， 这里\mu^是由\mu自然导出的从\mathrm{Ho…
冪零群
在群論裡，冪零群為一擁有幾乎可換之特殊性質的群，經由交換子（[x,y] = x-1y-1xy）的重複應用。冪零群誕生於伽羅瓦理論和對群的分類之中。其對李群的分類亦具有很重要的功用。 定義 首先先定義群G的降中央列，其為一系列的群G = A0、A1、A2、...、Ai，其中每個Ai+1 = [Ai, G]為所有由Ai中的x及G中的y所算出的所有交換子[x,y]所產生出來的G的子群。因此，A1=[G,G]=G1為G的导群，而A2 = [G1…
诱导特征标
数学上，诱导特征标是指由一个有限群 G 的子群 H ≤ G 的表示 W 诱导得到的 G 的表示V 的特征标。一般地，也有H 上的类函数f 的诱导类函数\operatorname{Ind}(f)，由下面的公式给出： : \operatorname{Ind}(f)(s) = \frac{1} \sum_{t \in G,\ t^{-1} st \in H} f(t^{-1} st). 若 f 是 H 的表示 W 的一个特征标，用这个公式就可…
中心 (群论)
在抽象代数中，群G的中心Z\left(G\right)是所有在G中和G的所有元素可交换的元素的集合，也就是： :Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\} 注意Z\left(G\right)是一个G的子群：若x和y在Z\left(G\right)中，则\left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\…
同倫群
在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 S^n 的情形，至今也沒有完整結果。 定義 設 X 為拓撲空間而 S^n 為 n 維球面。選定基點 a \in S^n, x \in X。定義 \pi_n(X,x) 為 [S^n, X]，也就是由保持基點的連續映射 f: S^n \to X 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：s_1 \wedg…
加法群
加法群是一种在某种意义上将群运算为加法的群。它通常是阿贝尔群，使用二元运算符号+。 该术语广泛用于具有若干运算的代数结构，用于指定通过舍弃其他运算而获得的代数结构。比如整数加法群，基于向量空间的加法群以及基于环的加法群。这对于环和域来说特别有用，能用于区分加法群和具有乘法逆元的乘法群。 参考来源
置换的奇偶性
Permutations of 4 elements Odd permutations have a green or orange background. The numbers in the right column are the inversion numbers , which have the same parity as the permutation.]] 在数学中，当X是一个至少有两个元素的有限集合时，X的置换（即从X…
射影表示
在表示论中，群 G 在域 F 上的向量空間 V 上的射影表示指从G到射影线性群PGL的一個群同態 : G \to \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V)/F^ 其中 \mathrm{GL}(V) 表示在域F上向量空間 V 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 F^ 視為純量積映射 v \mapsto cv，其中 c \in F^。 若 V 維度有限，選定基底後可將 \mathrm{PGL}(V) 理解為 \ma…
双陪集
在数学领域, 群G中的 (H,K) 双陪集在G上的等价关系下是一个等价类, 其中 H K 是 G 的子群, G上的等价关系定义如下 :x ~ y, 如果存在 h 属于 H , k 属于 K 满足 hxk = y. 每个双陪集具有形式 HxK, 并且 G 分割为自身的 (H, K) 双陪集; 双陪集中的每个元素, 都是 H 在 G 中的右陪集 Hy 和 K 在 G 中的左陪集 zK 的组合. 一类重要的情形是 H = K, 这时有一类内积…
蘭道函數
對於所有非負整數n，蘭道函數g(n)定義為對稱群S_n的所有元素的秩之中，最大的一個。或者說，g(n)是n的所有整數分拆之中的最小公倍數。 例如5=2+3，lcm(2,3)=6，沒有其他5的分割方式能得出一個更大的最小公倍數，故此g(5)=6。 1902年，愛德蒙·蘭道證明 :\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(g(n))}{\sqrt{n \ln(n)}} = 1 （ln是自然對數。） 參考 E. Landau, Ü…