定義
有序交換群係指一對 (\Gamma, >)，其中 \Gamma 為交換群，> 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件：
- 若 a ，則 -a > 0。
- 若 a, b > 0，則 a+b > 0 。
另一種等價的描述是：給定一個子集 \Gamma_+ \subset \Gamma，使得 \Gamma_+ 對加法封閉，且 \Gamma = \Gamma_+ \cup \{ 0 \} \cup -\Gamma_+。
若對於每個 x \in \Gamma 都存在 n \in \mathbb{Z} 使得 n \cdot 1 > x，則稱 (\Gamma,>) 滿足阿基米德性質。
範例與基本性質
- 由上述公理可推出：對於每個 x \in \Gamma, x \neq 0 都有 x^2 > 0 。
- \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^* 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
- 若 (\Gamma, >_1), (\Gamma_2, >_2) 為有序交換群，則 \Gamma_1 \times \Gamma_2 配合其字典序也構成一個有序交換群。
- (\Gamma, >) 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 (\mathbb{R}, +)。
參見
*序理論
*環
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