在数学中，怪兽月光理论或月光理论（monstrous moonshine, or moonshine theory）是指在怪兽群M和模形式（）之间的一种意外的联系。该名词于1979年由康威和在1979年造出。
经过研究，现在已知道怪兽月光理论的核心是称为的顶点算子代数。这一代数由，和于1988年构造，其对称群为怪兽群。通常这个代数被视作结构之一部分，因此可以看作物理在数学的两个分支之间建立了联系。康威和诺顿提出的猜想在1992年由理查德·博赫兹使用弦论中的，以及顶点算子代数和之理论得以证明。
历史
在1978年，的研究发现，归一化后的的傅里叶展开之中的前几项可以用魔群M的维数r_n的线性展开来描述，其中系数为小的非负整数。J不变量为
J(\tau) = \frac{1}+ 744 + 196884{q} + 21493760{q}^2 + 864299970{q}^3 + 20245856256{q}^4 + \cdots
其中 {q} = e^{2\pi i\tau} ，而 τ 为半周期比。对于魔群 M 的相关表达式，令 r_n = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ..., 则有
\begin{align}
1 & = r_1 \\
196884 & = r_1 + r_2 \\
21493760 & = r_1 + r_2 + r_3 \\
864299970 & = 2r_1 + 2r_2 + r_3 + r_4 \\
20245856256 & = 3r_1 + 3r_2 + r_3 + 2r_4 + r_5 = 2r_1+ 3r_2 + 2r_3 + r_4 + r_6\\
333202640600 & = 5r_1 + 5r_2 + 2r_3 + 3r_4 + 2r_5 + r_7 = 4r_1 + 5r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + r_6 + r_7\\
\end{align}
左边的项为j(\tau)的各项系数，而右边的整数r_n则是魔群M的不可约表示的维度。由于r_n之间存在多种不同的线性关系，如r_1 - r_3 + r_4 + r_5 - r_6 = 0，这种表示方式不唯一。
麦凯认为，这意味着可能存在一种自然生成的无穷为。这种表示以J的系数为它的分次维度，且它的低次部分可以按上述方式分解为不可约表示。在他将这一发现告知约翰·G·汤普森后，汤普森提出，既然分次维数只是单位元的分次迹，那么在这一表示上，对魔群 M 中非平凡元素 g 所取的分次迹可能是有研究价值的。
康威和诺顿计算了这些分次迹的低阶项（现称为麦凯–汤普森级数 Tg），发现它们无一例外地都是组主模的展开式。换句话说，如果设 Gg 是 SL2(R) 中固定 Tg 不变的子群，那么复平面上半平面在 Gg 作用下的商空间则是一个挖去有限个点的球面，其中 Tg 生成了该球面上亚纯函数的域。
基于他们的计算结果，康威和诺顿列出了一组主模，并推测可能存在一个无穷维的魔群 M 的分次表示，且它的分次迹 Tg 恰好就是他们列表中那些函数的傅里叶展开式。
1980年，A.O.L. 阿特金、保罗·方和斯蒂芬·D·史密斯通过将 J 的大量系数分解为 M 的表示，经过大量计算提供了有力证据，证实了此类分次表示的存在性。随后，由伊戈尔·弗伦克尔、詹姆斯·莱波夫斯基和阿尔内·莫尔曼构造了一个称为“月光模”的一个分次维数为 J 的分次表示，从而解决了麦凯–汤普森猜想。他们还确定了魔群中对合的中心化子中所有元素的分次迹，部分证明了康威–诺顿猜想。此外，他们证明了所构造的被称为月光模 的V^\natural向量空间还具有顶点算子代数的额外结构，且它的自同构群恰好就是 M。
1985年，包括约翰·康威在内的一组数学家共同出版了《》。该图集枚举了所有散在群，并将“月光”作为一节列入魔群的显著性质列表中。
1992年，博彻德斯证明了月光模上的康威–诺顿猜想。由于他对这一猜想的解决，于1998年获得菲尔兹奖。
參考資料
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