在 交换代数 中， 一个交换环上的 模 M 的支撑是一个集合，它包含所有 A 上的理想 \mathfrak{p}，使得 M_\mathfrak{p} \ne 0. 通常可以记为 \operatorname{Supp}(M). 由定义，支撑是 A 的谱的子集。
性质
- M = 0 当且仅当它的支撑是空集。
- 令 0 \to M' \to M \to M* \to 0 是一个 A 模正合序列. 那么
:\operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Supp}(M') \cup \operatorname{Supp}(M).
注意这里的并集不一定是不相交的.
- 如果 M 是子模 M_\lambda 的和, 那么
\operatorname{Supp}(M) = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}(M_\lambda).
- 如果 M 是一个有限生成 A 模，那么 \operatorname{Supp}(M) 是的所有的包含 M 的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 \operatorname{Spec} (A) 的 Zariski拓扑结构 中是闭的.
- 如果 M, N 都是有限生成 A -模，那么
*:\operatorname{Supp}(M \otimes_A N) = \operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N).
- 如果 M 是一个有限生成模并且 I 是 A 的理想，那么 \operatorname{Supp}(M/IM) 是包含 I + \operatorname{Ann}(M). 素理想的集合. 这也就是
V(I)\cap \operatorname{Supp}(M).
准凝聚层的支撑
如果 F 是概形 X上的一个 准凝聚层, 层 F 的支撑是点集 x∈X 使得 stalk F x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机.
模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集.
如果 M 是一个 A -模, 那么 M 作为模的支撑等价于 M 诱导的仿射概形 \operatorname{Spec} (A) 上的准凝聚层 \tilde{M} 的支撑. 另外, 如果 \{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}
是概形 X 的一个仿射覆盖, 那么 F 作为层的支撑等价于每个 A_\alpha -模 M_\alpha 作为模的支撑的并集.
由正合序列
0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0
对于一个在光滑射影簇 X 中的除子 D, 如果我们令开集 U = X-D 则有
\mathcal{O}_X(-D)(U) \cong \mathcal{O}_X(U)
, 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 U \cap D = \varnothing .
例子
由前面已知, 一个素理想 \mathfrak{p} 在模 M 的支撑里, 当且仅当它包含 M 的消灭元. 来看一个例子
:
\frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)} \in \text{Mod}(\mathbb{C}[x,y,z,w])
作为模的消灭元是理想 (x^4 + y^4 + z^4 + w^4). 这意味着
\text{Supp}(M) \cong \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z,w]/(x^4 + y^4 + z^4 + w^4))
也就是说它的支撑是多项式 x^4 + y^4 + z^4 + w^4 的零点.
现在来看短正合序列
0 \to I \to R \to R/I \to 0
我们可以认为理想
(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)
的支撑等价于
\text{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z,w]_{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)})
也就是多项式零点的补集.
在specialization意义下, 模的支撑总是闭的.
现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式f_1,f_2 \in R, 使得理想 (f_1,f_2) 是完全交, 那么张量积的性质告诉我们
\text{Supp}\left( \frac{R}{(f_1)}\otimes_R \frac{R}{(f_2)} \right) = \text{Supp}\left( \frac{R}{(f_1)}\right) \cap \text{Supp}\left( \frac{R}{(f_2)}\right) \cong \text{Spec}(R/(f_1,f_2))
相关参考
*Associated prime
*Support (mathematics)
参考文献
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