科恩-麥考利環
在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（）與欧文·索尔·科恩（） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。 形式定義 若交換局部環 (R,\mathfrak{m}) 滿足 \mathrm{depth}_\mathfrak{m}(R) …
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霍赫希尔德同调
数学中，霍赫希尔德同调（）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家（Gerhard Hochschild）冠名的。 代数的霍赫希尔德同调之定义 设 k 是一个环，A 是一个结合 k-代数，M 是一个 A-双模。我们记 A⊗n 为 A 在 k 上的 n 重张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形是 : C_n(A,M) := M \otimes A^{\otimes n} 边缘算子 di 定义为 : d_0(m…
永田環
在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 A 為一整環。 A 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 L/K， A 在 L 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作泛日本環，若且唯若 A 上任何有限生成的整環都是日本環。 一個泛日本環 A 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 A 也是諾特環。 註…
零环
在环论中，一个零环是一环（无乘单位元），其中任意两个元素的乘运算是0（即加运算单位元），也可以被称作带有零乘法的环。. （注：有些学者 定义一个零环是一个单一的元素的环，即平凡环，这些学者要求有单位元，因此所有这种零环是无研究价值的，大陆教材都是这种定义）零环的另一个名字是空环，不要求有，零环理想也是零环，在这种情况下，它们被称为空理想。 定义的任何两个元素乘运算为0，任何阿贝尔群可以变成一个零环。这使证明任何阿贝尔群添加乘运算变成环更…
单环
在环论中，若某非无零因子环除了及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。 单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。 此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在這種术语下，没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。 存在在自身上不是单…
高度 (環論)
在交換代數中，一個環 R 的理想 I 的高度是包含於 I 的素理想鏈長度之上確界。 素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得 : P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n 則稱之為長度為 n 的素理想鏈。若 P_n \subset I，則稱此鏈包含於 I。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的 在代數幾何中，這可以詮…
中山引理
在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。 陳述 它的眾多等價陳述之一如下： : 引理（中山正）。設R為含單位元的交換環，I為一理想，M為有限生成R-模。若IM=M，則存在r \in R滿足r \equiv 1 \pmod I且rM = 0。 推論 : 推論一。在上述條件下，若I包含於R的Jacobson根，則必然有M=0。 : 推論二. 若N是M的子模，且存在有限生成的M的子模N'及包含於R的Jacobson根的理想I，使得M …
商环
在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 定義 設R為一環，I \subset R為一雙邊理想。定義下述等價關係 : x \sim y \iff x-y \in I 令R/I為其等價類的集合，其中的元素記作a + I，其中a是該元素在R上任一代表元。我們可以在R/I上定義環結構： : (a+I) +(b+I) =(a+b) + I : (a+I) \cdot(b+I) = ab + I 以上運算是明確定義的（在第二式中須用…
優環
在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。 代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。 定義 以下所論之環皆假定為么交換環。 一個包含域 k 的環 R 被稱作在 k 上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 …
代數同態
在A和B兩個K-多元環之間的同態是指一個函數F:A\rightarrow B，此函數能使得對所有在K內的k和在A內的x、y來說， *F(kx) = kF(x) F(x + y) = F(x) + F(y) F(xy) = F(x)F(y) 若F是双射的，則F稱為是A和B之間的同構。 例子 令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘…
葛侖斯坦環
在交換代數中，一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環（英文：Gorenstein ring）是對每個素理想的局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。 葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。 其它定義 對於局部環 (R, \mathfrak{m}, k)，葛侖斯坦局部環的古典定義是：R 是科恩-麥考利環，而且存在 \math…