商环 · 茶年 · 中文维基百科

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義
設R為一環，I \subset R為一雙邊理想。定義下述等價關係
: x \sim y \iff x-y \in I

令R/I為其等價類的集合，其中的元素記作a + I，其中a是該元素在R上任一代表元。我們可以在R/I上定義環結構：
: (a+I) +(b+I) =(a+b) + I
: (a+I) \cdot(b+I) = ab + I

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到I是雙邊理想）。集合R/I配合上述運算稱作R對I的商環。根據定義，商映射R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I是滿的環同態， I 為此同態的核。

如果R含單位元1，則1+I是R/I的單位元。

註：若條件弱化為I是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合R/I左（或右）R-模結構。

例子

最平凡的例子是I=(0), I=R，此時分別得到R/(0)=R, R/R=(0)。
取R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z}，商環\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}可視為模運算的代數框架，其中的元素即模n的剩餘類。
商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環R = \mathbb{R}[X]，I =(X^2+1)\mathbb{R}[X]，則商環\mathbb{R}[X]/(X^2+1)與複數域\mathbb{C}同構（考慮映射f (X) +(X^2+1) \mapsto f (i)）。一般而言，設F為一個域，p (X) \in F[X]為F上的不可約多項式，則商環F[X]/p (X)的意義在於抽象地在F上加進p (X)的一個根。

性質
商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

:設\pi: R \rightarrow R/I為商同態；對任何環同態\phi: R \rightarrow S，若 \mathrm{Ker}(\phi) \supset I，則存在唯一的同態\psi: R/I \rightarrow S ，使得\psi \circ \pi = \phi。

事實上，若更設\mathrm{Ker}(\phi)=(0)，則\psi: R/I \rightarrow S是單射。準此，R的同態像無非是R的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當R是交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環時，I是素理想（或極大理想）若且唯若R/I是整環（或域）；R中包含I的理想一一對應於R/I中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

文獻

商环