抽象代数中，-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。
不过，代数也可能不允许任何对合。
定义
*-环
数学中，-环是具有映射{}^:\ A\to A的环，这映射既是反自同构也是对合。
更确切地说，*要满足以下公理：\forall x,\ y\in A,
- (x+y)^=x^+y^*
- (xy)^=y^x^*
- 1^*=1
- (x^)^=x
这也称作对合环。第三条公理可从第二与第四条推出。
使x^*=x的元素是自伴的。
-环的典型例子是复数域和以共轭复数为对合的代数数域。可在任意-环上定义半双线性形式。
此外，还可定义代数对象的-版本，如理想和子环，要求是-不变的：x\in I\Rightarrow x^*\in I等等。
在计算理论中，*-环与星半环无关。
*-代数
-代数A是-环，其对合是交换-环R上的结合代数，带有对合'，使\forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^=r'x^*。
基-环R*通常是复数（其中'为共轭复数）。
据公理可知，A上的在R*中是共轭线性的，即\forall \lambda,\ \mu\in R,\ x,\ y\in A,
:(\lambda x+\mu y)^=\lambda'x^+\mu'y^*
-同态f:\ A\to B是与A、B*的对合相容的代数同态，即
- \forall a\in A,\ f(a^)=f(a)^.
\varphi_z\left[\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix} \quad \varphi_z\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
对任意复数z\in\Complex。
由此可见，任何非平凡反自同构都不是幂等的：
\varphi_z^2\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
结论是，子代数不允许任何对合。
附加结构
转置的很多性质在一般*-代数中成立：
- 埃尔米特元素形成若尔当代数；
- 斜埃尔米特元素形成李代数;
- 若2在-环中可逆，则算子\frac12(1+{}^),\ \frac12(1-{}^)是正交幂等，称为对称与反对称，因此代数分解为对称与反对称（埃尔米特、斜埃尔米特）元素模的直和（若-环是域则为向量空间）。这些空间一般不构成结合代数，因为幂等是算子，而不是代数中的元素。
斜结构
给定-环，有映射-^:\ x\mapsto -x^。由于1\mapsto -1，它并不定义-环结构（除非特征标为2，这时−与原相同），也没有反乘法性，但满足其他公理（线性、对合），因此与x\mapsto x^的-代数非常相似。
由这映射固定的元素（即满足a=-a^*者）称作斜埃尔米特的。
对带复共轭的复数，实数是埃尔米特元素，虚数是斜埃尔米特元素。
另见
C-代数
*剑标范畴
*冯诺依曼代数
*贝尔环
*算子代数
*共轭元素
*凯莱-迪克森结构
*合成代数
脚注
参考文献
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