在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。

本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。

定義
給定一個交換環 A 。

代數
給定一個四元組 (E,+,.,\times) 。如果以下兩個條件成立：

(E,+,\cdot) 是一個 A-模。

\times是一個 E 的內部運算（即\times:E\times E\rightarrow E），並且是A-雙線性的。也就是說內部運算\times符合以下三點：

#* \forall x,y,z \in E,\qquad\qquad (x+y)\times z= x\times z+y\times z
#* \forall x,y,z \in E,\qquad\qquad x\times (y+z)= x\times y+x\times z
#* \forall a\in A, \forall x, y \in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y) = x\times (a\cdot y)
那麼我們說四元組 (E,+,\cdot,\times) 是一個 A 上的代數（或稱 A-代數），或簡稱集合 E 是一個A-代數。

結合代數、有單位的代數、交換代數
設 (E,+,\cdot,\times) 為一個 A-代數。

• 如果內部運算\times符合結合律，那麼我們說 E 是一個結合代數。
• 如果內部運算\times有一個單位元（即 \exists 1_E\in E, \forall x\in E, 1_E\times x=x=x\times 1_E），那麼此單位元是唯一的並且我們說 E 是一個有單位的代數。
• 如果內部運算\times符合交換律，那麼我們說 E 是一個交換代數。

註：有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數，或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

等價定義
一樣給定一個交換環 A 。

給定一個四元組 (E,+,\cdot,\times) 。 這是一個A上的結合代數（resp.結合且有單位的代數、resp.結合、有單位且交換的代數）當且僅當以下三個條件成立：

(E,+,\cdot) 是一個 A-模。

(E,+,\times) 是一個環（resp.一個幺環、resp.一個交換環）。

\times是一個 E 的內部運算（即\times:E\times E\rightarrow E），並且是A-雙線性的。

註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為：

• \times是一個 E 的內部運算（即\times:E\times E\rightarrow E），並符合\forall a\in A, \forall x, y \in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y) = x\times (a\cdot y)

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數：

• 給定一個結合且有單位的 A-代數 E 就等於給定一個二元組 (E,f)：其中 E 是一個環，而 f:A\rightarrow E 是一個滿足f(A)\subset Z(E) 的環同態。（Z(E) 代表環 E 的中心，也就是 Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E, x\times y = y\times x\}）。

原因是如果 E 是一個結合且有單位的A-代數，那麼 E 是一個環並且 f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_E\in E 是一個環同態，滿足f(A)\subset Z(E)。反過來看，如果 E 是一個環，而 f:A\rightarrow E 是一個滿足 f(A)\subset Z(E) 的環同態，那麼我們可以定義外部運算\cdot:A\times E\to E, (a,x)\longmapsto f(a)\times x（即a\cdot x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f(a)\times x）。E 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 A-模並且成為一個結合且有單位的 A-代數。

將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法：

• 給定一個結合、有單位且交換的 A-代數 E 就等於給定一個二元組 (E,f)：其中 E 是一個交換環，而 f:A\rightarrow E 是一個的環同態。

代數同態
設 E, F 是 A-代數，A-模間的同態 \phi: E \rightarrow F 被稱作 A-代數間的同態，若且唯若它滿足 \forall x,y \in E, \; \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)。因此所有 A-代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

結構常數
設 E 是 A-代數。當 E 是個自由的有限秩 A-模（當 A 為域且\dim_A E 時自動成立）時，可選定一組基底 e_1, \ldots, e_n，並將乘法寫作
: e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k \quad （採用愛因斯坦記號）

此時常數 c_{ij}^k \in A 稱作 E 對基底 e_1, \ldots, e_n 的結構常數。

例子

• 對於n\geq 2，矩陣環 \mathcal{M}_n(\R) 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的\mathbb{R}-代數。
• 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 \{X,Y\} = (XY + YX)/2，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
• 歐氏空間 \mathbb R^3 對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 \mathbb{R}-代數。這是一個李代數的例子。
• 四元數 \mathbb H 是一個非交換但結合且有單位的 \mathbb{R}-代數。
• 八元數 \mathbb O 是一個非交換、非結合但有單位的 \mathbb{R}-代數。
• 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數\mathbb{R}\to\R所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的\mathbb{R}-代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。

參見

• 結合代數
• 代數同態
• 李代數

文獻

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6