环同态

在环论或抽象代数中，环同态是指两个环 R 與 S 之间的映射 f 保持两个环的加法与乘法运算。

更加精确地，如果 R 和 S 是环，则环同态是一个函数f: R \rightarrow S，使得：

• f(a + b) = f(a) + f(b)，对于 R 内的所有 a 和 b；
• f(ab) = f(a) f(b)，对于 R 内的所有 a 和 b；
• f(1) = 1。

如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。

性质
直接从这些定义，我们可以推出：

• f(0) = 0
• f(-a) = -f(a)
• 如果 a 在 R 内具有乘法逆元，则 f(a) 在 S 内具有乘法逆元，且有 f(a^{-1})=(f(a))^{-1}。
• f 的核，定义为\ker (f)=\{ a \ \mathrm{in} \ R: f(a)=0 \}，是 R 内的一个理想。每一个交换环 R 内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。
• 环同态 f 是单射，当且仅当\ker(f) = \{ 0 \}。
• f 的像，\mathrm{im}(f)，是 S 的一个子环。
• 如果 f 是双射，那么它的逆映射 f^{-1} 也是环同态。在这种情况下，f 称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。
• 如果存在一个环同态 f: R \rightarrow S，那么 S 的特征整除 R 的特征。这有时候可以用来证明在一定的环 R 和 S 之间，不存在环同态 R \rightarrow S。
• 如果 R 是一个域，则 f 要么是单射，要么是零函数。（但是，如果 f 保持乘法单位元，则它不能是零函数）。
• 如果 R 和 S 都是域，则 \mathrm{im}(f) 是 S 的一个子域（如果 f 不是零函数）。
• 如果R 和 S 是交换环，S 没有零因子，则 \ker(f) 是 R 的一个素理想。
• 如果R 和 S 是交换环，S 是一个域，且 f 是满射，则 \ker(f) 是 R 的一个最大理想。
• 对于每一个环 R，都存在一个唯一的环同态 \mathbb{Z} \rightarrow R。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。

例子

• 函数 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_n，由 f(a) = [a]_n =a \bmod n 定义，是一个满射的环同态，它的核为n \mathbb{Z}。
• 当 n > 1 时，不存在环同态\mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}。
• 如果 \mathbb{R}[X] 表示变量为 X 的所有实系数多项式的环，\mathbb{C}表示复数域，则函数 f:\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{C}，由 f(p) = p(i) 定义（在多项式 p 中用虚数单位 i 来代替变量 X），是一个满射的环同态。f 的核由 \mathbb{R}[X] 内所有能被 X^2 + 1 整除的多项式组成。

环同态的种类

• 双射的环同态称为环同构。
• 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。

在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果 f:R\rightarrow S 是单同态而不是单射，则它把某个 r_1 和 r_2 映射到 S 的同一个元素。考虑从 \mathbb{Z}[x] 到 R 的两个映射 g_1 和 g_2，分别把 x 映射到 r_1 和 r_2；f \circ g_1和 f \circ g_2是相等的，但由于 f 是单同态，这是不可能的。

然而，在环范畴中，满射的环同态与满同态是非常不同的。例如，\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} 是满同态，但不是满射。

参见
*同态