零因子

在抽象代数中，一个环的一个非零元素 a 是一个左零因子，当且仅当存在一个非零元素 b，使得 ab=0。类似的，一个非零元素 a 是一个右零因子，当且仅当存在一个非零元素 b，使得 ba=0。左零因子和右零因子通稱為零因子（zero divisor）。。在交换环中，左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。

例子

• 整数环 \mathbb{Z} 没有零因子，但是在环 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} 中，有 (0,n) \times (m,0) = (0,0) ，于是 (0,n) 和 (m,0) 都是零因子。

*在商环 \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} 中，同余类 4 （即 4+6\mathbb{Z} ），是一个零因子，因为 3 \times 4 是同余类 0 。

*在方矩阵组成的环中，不可逆矩阵都是零因子。例如：
:\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}
:因为
:\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

*　更一般地说，在某些域上的 ｎ×ｎ 的矩阵组成的环中，左零因子也就是右零因子（实际上就是所有的非零的奇异矩阵）。在某些整环上的 ｎ×ｎ 的矩阵组成的环中，零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。

*下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子，它们都不是零因子。
*令 S 为所有整数数列的集合，则 S 到 S 的映射，对于数列的加法和映射的复合，成为一个环 End(S*),。
*考虑以下三个映射：右移映射：R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...)， 左移映射：L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...)，以及只保留首项的映射： T(a1, a2,a3,... ) = (a*1, 0, 0, ... )
**LT ＝ TR ＝ 0，所以 L 是一个左零因子，R 是一个右零因子。但是 L 不是右零因子，R 也不是左零因子。因为 LR 便是恒等映射。也就是说，如果有一个映射 f 使得 fL= 0，那么 0＝(fL)R = f(LR)= f1 = f，f 必然是 0，于是 L 不可能是右零因子。同理，R 也不可能是左零因子。
*实际上，我们可以将 S 到 S 的映射看作可数阶数的矩阵，于是左移映射 L* 就可以表示为：
:A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}
:同理 R 则是 L 的转置矩阵（同时也是 L* 的逆矩阵）。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

性质
*左零因子或右零因子不可能是可逆元。

任意的非零的等幂元 a ≠ 1 都是零因子，因为由 a2 = a 可推出 a(a − 1) = (a − 1)a* = 0。此外，幂零元是当然的零因子。

*一个非退化的交换环（0 ≠ 1）若没有零因子，则是一个整环。

商环 Z/nZ 包含零因子，当且仅当 n 是合数。如果 n 是素数，Z/*nZ 是一个域，因而没有零因子，因为每个非零元素都是可逆的。

*在凯莱-迪克森结构下的十六元数中，也包含了零因子。

参见
*环
*整环

註釋
參考資料