交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。
具有以下形式的级数
: \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!
其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和
:\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = L\!
那么部分和
:S_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n\!
逼近L有截断误差
:\left | S_k - L \right \vert \le \left | S_k - S_{k-1} \right \vert = a_{k}\!
证明
我们假设级数具有形式\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!．当n趋于无穷时，数列a_n的极限等于0，并且每个 a_n小于或等于a_{n-1}（即a_n是单调递减数列）．
收敛性证明
给定数列前 (2n+1) 项的部分和 S_{2n+1} = a_0 + \left( { - a_1 + a_2 } \right) + \left( { - a_3 + a_4 } \right) + \ldots + \left( { - a_{2n - 1} + a_{2n} } \right) - a_{2n+1} ．由于每个括号内的和非正，并且 a_{2n+1} \geq 0 ，那么前 (2n+1) 项的部分和不大于 a_0.
并且每个部分和可写做 S_{2n+1} = \left( {a_0 - a_1 } \right) + \left( {a_2 - a_3 } \right) + \ldots + \left( {a_{2n} - a_{2n+1} } \right)．每个括号内的和非负．因此，级数 S_{2n+1} 单调递增：对任何 n \in N 均有：S_{2n+1} \le S_{2n + 3} .
结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 s 使得 \lim_{n \to \infty } S_{2n+1} = s.
由于 S_{2n} = S_{2n + 1} - a_{2n + 1} 并且 \lim_{n \to \infty } a_n = 0 ，那么 \lim_{n \to \infty } S_{2n} = s．给定数列的和为 \lim_{n \to \infty}S_{2n} = \lim_{n \to \infty}S_{2n + 1} = s ，其中 s 为有限数，从而数列收敛．
部分和截断误差的证明
在收敛性的证明过程中，我们发现S_{2n+1}是单调递增的．由于S_{2n} = a_0 +\left(-a_1 + a_2\right) + \ldots + \left(-a_{2n-1} + a_{2n}\right)，并且括号中的每一项是非正的，这样可知S_{2n}是单调递减的．由先前的论述，\lim_{n \to \infty}S_{2n} = L，因此S_{2n} \geq L．类似的，由于S_{2n+1}是单调递增且收敛到L，我们有S_{2n+1} \leq L．因此我们有S_{2n+1} \leq L \leq S_{2n}对所有的n均成立．
因此如果k是奇数我们有|L - S_k| = L - S_k \leq S_{k+1} - S_k = a_{k+1} \leq a_k，而如果k是偶数我们有|L-S_k| = S_k - L \leq S_k - S_{k-1} = a_k．
参阅
*狄利克雷判别法
图书资料
- Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
- Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
- Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3
参考文献
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