項測試
第n項測試（the n-th term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式。 若 \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 或極限不存在，則 \sum_{n=1}^\infty a_n 發散。 許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名 用途 項測試和其他較強的收斂測試不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發…
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比较审敛法
比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。 定理 设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n，且|u_n|\le v_n(n=1,2,3,...)： 如果级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛； 设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\…
狄利克雷判别法
狄利克雷判别法（Dirichlet test）是一个级数审敛法，以数学家约翰·彼得·狄利克雷命名。 给定两个实数级数\{a_n\}和\{b_n\}，如果级数满足 a_n \geq a_{n+1} > 0 \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M对于所有正整数N 其中M是某个常数，那么级数\sum^{\infty}_{n=1}a_n b…
柯西判別法
柯西判別法是判斷一個實級數或數列收歛的方法。 級數\sum_{i=0}^\infty a_i收歛，若且唯若對於實數\epsilon > 0，存在正整數N使得對於任何n>N及p \ge 1，|\sum_{i=n+1}^{n+p} a_i| 。 另一個說法是： 數列A_i收歛若且唯若對於任何實數\epsilon > 0，存在正整數N使得對於任何i,j>N，|A_i - A_j | 。 参考
比值审敛法
比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（）。 定理 设\sum_{n=1}^\infty u_n为一级数，如果 \lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho， 当ρ1时级数发散 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 证明 如果\rho，那么存在一个实数r以及一个正整数N，满足\rho，使得当n>N时，总有|a_{n+1}|成立；…
无条件收敛
在数学中，一个级数\scriptstyle \sum_{i \in \mathcal{I}} a_i无条件收敛于一个特定值\beta，是指对任意小的差别\epsilon，都会存在\scriptstyle \mathcal{I}中的一个子集\scriptstyle \mathcal{S}，使得对所有的包含\scriptstyle \mathcal{S}的集合\scriptstyle \mathcal{T}，里面的元素加起来的和与\beta…
柯西乘积
在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列a_n, b_n的离散卷积。 :c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}. 该数列乘积被认为是自然数R[\N]的半群环的元素。 级数 一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）a_n, b_n： :\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n, 一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为…
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + …
在数学中，“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”这个无穷级数是绝对收敛的交错级数中的一个较为简单的例子。 因为“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”是一个首项为1/2、公比为−1/2的几何级数，所以将它求和有： :\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\frac{1}{2}}{1-(-\frac{1}{2})} = \fra…
阿贝尔判别法
阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。 实数项级数的阿贝尔判别法 给定两个实数项数列\{a_n\}和\{b_n\}，如果数列满足 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收敛 \lbrace b_n \rbrace\,是单调且有界的 则级数 :\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n 收敛。…
素数的倒数之和
公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里给出一些证明。 证明一 : \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - …
幂级数
，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1项和的曲线]] 在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为： :f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n : = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots 其中的c和…
梅欽類公式
梅钦类公式（英语：Machin-like formula）是数学中计算圆周率的一个常用技巧，它是梅欽公式的推广，梅钦公式的形式为 :\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} 梅钦依据此公式，把圆周率计算到一百多位小数。 梅钦类公式的形式为： {{NumBlk|:|c_0 \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^N c_n \arctan \f…
移位法则
移位法则 是关于序列和级数的一个数学法则。 以下讨论的 n 和 N 都是自然数。 对于序列，这条法则称，如果 (a_{n}) 是一个序列，那么它收敛当且仅当 (a_{n+N}) 收敛，并且此时这两个序列总是收敛到相同的值。 对于级数，这条法则称， \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} 收敛到某个数，当且仅当 \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n+N} 收敛。 参考文献
交错级数
交错级数是形如\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n或\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\,a_n的级数（an ≥ 0）。格兰迪级数是交错级数中a_n=1的特殊情况。 交错级数审敛法（莱布尼茨判别法） 关于交错级数，有一个审敛法：若各項非負的数列a_n单调递减且趋于零，则级数\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n收敛。 相關條目 * 格兰迪級數
貝爾級數
貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。 給定算術函數f和質數p，*f模p的貝爾級數為 f_p(x) = \sum_{i=0}^\infty f(p^n) x^n 唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。 對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有{(fg)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)。 一個完全積性函數的貝爾級數為幾何級數：f_p(x) = \frac{…