比值审敛法

比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（）。

定理
设\sum_{n=1}^\infty u_n为一级数，如果

\lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho，

*当ρ1时级数发散
*当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明
如果\rho，那么存在一个实数r以及一个正整数N，满足\rho，使得当n>N时，总有|a_{n+1}|成立；因此在上述条件下，当k为正整数时有|a_{n+k}|，于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛：

:\sum_{k=N+1}^\infty|a_k|=\sum_{k=1}^\infty|a_{N+k}|\sum_{n=1}^\infty 1

发散，但

:\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.

而级数

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

收敛，但

:\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.

参见
*根值审敛法
*比较审敛法
*拉比判别法

参考文献
Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)