在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列a_n, b_n的离散卷积。
:c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.
该数列乘积被认为是自然数R[\N]的半群环的元素。
级数
一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）a_n, b_n：
:\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,
一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：
:\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n ,
::这里 c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k},\, n = 0, 1, 2, \ldots
“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。
人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数
:\sum_{n=0}^\infty c_n
等于如下乘积：
:\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)
就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。
在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。
示例
有穷级数
对于i>n、i>m，有x_i = 0，y_i = 0 即为有穷级数，则 \sum x和 \sum y 柯西乘积可以展开为(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m)，因此可以直接计算乘积。
无穷级数
- 对某些a,b\in\mathbb{R}，构造x_n = a^n/n!\,和y_n = b^n/n!\,，由定义和二项式展开可知：
: C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}
形式上， \exp(a) = \sum x，\exp(b) = \sum y，我们已表明\exp(a+b) = \sum C(x,y)。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 a,b\in\mathbb{R}有\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)
- 另外一个例子，令 x(n) = 1（n\in\mathbb{N}），则 C(x,x)(n) = n+1对所有n\in\mathbb{N}成立，则柯西乘积 \sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots) ，该乘积不收敛。
收敛和梅尔滕斯定理
令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数\sum y收敛到Y，且级数\sum x绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 \sum C(x,y)收敛到XY。
对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：
例子
考虑下述两交错级数：
:a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\,,
它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：
:c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{ (-1)^{n-k} }{ \sqrt{n-k+1} } = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{ \sqrt{(k+1)(n-k+1)} }
其中整数 。因为对于所有 {{math|k ∈ {0, 1, ..., n}}} 我们都有不等式 及 ，故对分母中的根式有 。因此，由于共有 个被加项，故对于所有的整数 有
:|c_n| \ge \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} = 1
因此， 在 时并不趋于 0，级数 发散（项测试）。
梅尔滕斯定理的证明
令X_n = \sum_{i=0}^n x_i，Y_n = \sum_{i=0}^n y_i ，C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i)，C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i} (重排后)。
则C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n，对任意给定的 ε > 0，因为\sum x绝对收敛，\sum y收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N |Y_n-Y| ，和存在一个正整数M，对于所有 n\geq M ，有|x_{n-N}|（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 n\geq L，则 |X_n-X|。
因此，对于所有n大于N, M, L，有：
:|C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|
根据收敛的定义，即：\sum C(x,y)\to XY.
切萨罗定理
如果x，y是实数数列，且\sum x\to A，\sum y\to B，则有：
: \frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB.
推广
所有上述证明也可推广到\mathbb{C}复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间\mathbb{R}^n上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积
。
与卷积函数的关系
我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为\Z上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，(\dots,1,\dots)。
有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，\ell^1 \times \ell^\infty的乘积，这与Lp空间有关。
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