阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。
实数项级数的阿贝尔判别法
给定两个实数项数列\{a_n\}和\{b_n\}，如果数列满足
- \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收敛
- \lbrace b_n \rbrace\,是单调且有界的
则级数
:\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n
收敛。
复数项级数的阿贝尔判别法
一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果
:
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,
而级数
:
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,
在|z| 1时发散，系数{an}是正的实数，当n > m时单调递减并收敛于零，则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛，除了z = 1以外。当z = 1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换ζ = z/R，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。
证明
假设z是单位圆上的一个点，z ≠ 1。则
:
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} =
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0
所以，对于任何两个正整数p > q > m，我们有
:
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & =
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}
其中Sp和Sq是部分和：
:
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,
但是，由于|z| = 1，而当n > m时，an是单调递减的正实数，我们又有
:
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & =
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}\,
\end{align}
现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛，因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的q，来使aq+1小于任何给定的ε > 0。
注解
参考文献
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc., 1964
外部链接
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