比较审敛法

比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。

定理
设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n，且|u_n|\le v_n(n=1,2,3,...)：

如果级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛；

设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n，且 v_n \le u_n(n=1,2,3,...)：

如果级数\sum_{n=1}^\infty v_n发散，则级数\sum_{n=1}^\infty u_n发散。

证明
证明1
设\sigma _k=\sum_{n=1}^\infty u_n,s_k=\sum_{n=1}^\infty v_n当u_n\le v_n时，则有\sigma _k \le s_k：

当级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛时，数列s _k有界，从而数列\sigma_k有界，所以级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛；

当级数\sum_{n=1}^\infty u_n发散时，数列\sigma _k无界，从而数列s _k无界，所以级数\sum_{n=1}^\infty v_n发散。

证明2
设有级数\sum a_n与\sum b_n，其中\sum b_n绝对收敛（\sum |b_n|收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足|a_n|\le|b_n|。考虑它们的部分和S_n=|a_1|+|a_2|+\dots+|a_n|,
T_n=|b_1|+|b_2|+\dots+|b_n|. 由于\sum b_n绝对收敛，存在实数T，使得\lim_{n \to \infty}T_n=T成立。

对于任意n，都有0 \le S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n| \le |a_1| + \ldots + |a_n| + |b_{n+1}| + \ldots = S_n + (T-T_n) \le T. (因满足|a_n|\le|b_n|)

由于S_n为单调不下降序列，S_n+(T-T_n)为单调不上升序列(隨著n上升，屬於|a_n|的便多過屬於|b_n|)，给定m,n>N，S_n,S_m都属于闭区间[S_N, S_N + (T - T_N)]，当N趋向无穷大时，这个区间的长度T-T_n趋向于0。这表明(S_n)_{n=1,2,\ldots}是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此\sum a_n绝对收敛。

参见
*审敛法
*比值审敛法
*根值审敛法
*交错级数审敛法

règles de comparaison