幾何級數
在数学中，几何级数（）是无穷多个项的总和，这些连续项之间的公比是恒定的。例如，该数列 :\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots 是無窮級數最简单的例子之一，可以作为泰勒级数和傅立叶级数的基本介绍。 几何级数在微积分的早期发展中起到了重要作用，在整个数学中都有使用，并且在物理学、工程学、生物学、经济学、计算机科学和金融学…
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等差-等比数列
在数学上，等差-等比数列（简称差比数列，）是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。 通项公式 等差-等比数列有如下通项公式： :[a+(n-1)d] r^{n-1} 其中 r 是公比，而 r^{n-1} 的系数： :[a+(n-1)d] 则是等差数列的项，其首项為a，公差d。 等差-等比数列的求和公式 等差-等比级数有如下形式； :\sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = a + (a+d)r…
函数项级数
函数项级数是一种级数，同样代表某序列之和，它的每一项是一个函数，而不仅仅是一个实数或复数。 像幂级数的每一項都是函数，因此是函数项级数 :f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n : = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots 示例 常见的幂级数，洛朗级数，傅里叶级数，，都是函数项级数。 收敛性 相较于数项级数…
发散级数
发散级数（）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数1 + 2 + 3 + 4 + \cdots和1 - 1 + 1 - 1 + \cdots ，也就是说该级数的部分和全部序列没有一个有穷极限。 如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。像调和级数就是每个项趋于零，但不收斂的级数 :1 + \frac{1}{2} + \frac{1…
魏尔施特拉斯判别法
魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。 假设\{f_n\}是定义在集合A内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数M_n，使得 :|f_n(x)|\leq M_n 对于所有的n≥1和A内所有的x。进一步假设级数 :\sum_{n=1}^{\infty} M_n 收敛。那么级数 :\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) 在A内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）…
Π的莱布尼茨公式
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明 :\; \frac{\pi}{4}\!=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \; 右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到\frac{\pi}{4}。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用…
拉普拉斯極限
拉普拉斯極限是指可以使克卜勒方程的級數解收斂的最大離心率，其數值約為 : 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290. 克卜勒方程M = E − ε sin E，描述物體在一離心率為ε的橢圓軌道上，其平近點角M和偏近點角E之間的關係，E無法以初等函数表示，但利用可以得到以下的幂級數： : E = M + \sin(M) \, \varepsilon + \tfrac12 \sin(2M) \,…
积分判别法
积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当f(x)非负递减时，級數\sum_{n=1}^\infty f(n)收歛当且仅当積分\int_1^\infty f(x)\,dx有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。 证明 考虑如下积分 : \int_n^{n+1} f(x)\, dx 注意f(x)单调递减，因此有： : f(n+1) \leq \int_n^{n+…
柯西-阿达马公式
柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 公式陈述 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 :f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}. 上式中a, c_n\in\mathbb{C}, 则该级数收敛半径 R 由下式给出： :\fra…
黎曼级数定理
黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 相…
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …
數學上，1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一無窮級數，在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子，由阿基米德於公元前250-200年發現，其總和為1/3。一般來說，對於任何一個 a，若等比數列的第一項是 a，而公比為1/4，其收斂總和如下： :a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots = \frac43 a. 圖像示範 通常以正方形和三角形來展示「1/4…
洛朗级数
在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数（），是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。 函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出： :f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n 其…
发散几何级数
数学中，幾何級數 :\sum_{k=0}^\infty ar^k = a + ar + ar^2 + ar^3 +\cdots 是发散的，当且仅当 | r | ≥ 1，此稱為發散幾何級數（）。有时需要考虑发散级数的求和，通常利用与收敛情况相同的公式来计算发散几何级数的和： :\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}。 例子 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, 公比为 -1。 1 − 2 + …
一致收斂
均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。 定義 當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb{C} 時，此時均勻收歛的定義為： 讓 (f_n)_{n \in \N}…
阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。 定理 設f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，則有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。 若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收斂，則結果顯然成立，無須引用…
1 + 2 + 4 + 8 + …
在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。 :\sum_{k=0}^{n} 2^k. 作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。 如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。 在历史和数学教育，是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如…
条件收敛
条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。 详细定义 条件收敛的级数 给定一个实数项无穷级数A = \sum_{n} a_n，如果它自身收敛于一个定值C \in \mathbb{R}： : \sum_{n=1}^\infty a_n = C, 但由每一项的绝对值构成的正项级数：A_s…
超几何函数
在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。 超几何级数 当c为正整数时，对于|z| \,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!} 其中 \ x^{(n)} 是遞進階乘，…
根值审敛法
根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第n项的绝对值的n次方根的上极限与1的大小关系。 定理 设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是要判断审敛性的级数，令 :C = \overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\left\vert a_n \right\vert} = \limsup_{n\rightarrow\infty}\…
审敛法
在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。 判别法列表 通项极限判别法 如果序列通项的极限不为零或无定义，即\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\ne0，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。 比值审敛法（检比法） 假设对任何的n，a_n>0。如果存在r使得： :\lim_{n\to\infty}\left…