等差-等比数列

在数学上，等差-等比数列（简称差比数列，）是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。

通项公式
等差-等比数列有如下通项公式：

:[a+(n-1)d] r^{n-1}

其中 r 是公比，而 r^{n-1} 的系数：

:[a+(n-1)d]

则是等差数列的项，其首项為a，公差d。

等差-等比数列的求和公式
等差-等比级数有如下形式；

:\sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \cdots + [a+(n-1)d]r^{n-1}

其前n项之和为；

:S_n = \sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = \frac{a}{1-r}-\frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}.

错位相减法
由此级数开始：

:S_n = a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}

将Sn乘以r，

:r S_n = ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +[a+(n-1)d]r^n

Sn减去rSn，

:\begin{align}
S_n(1-r) &=&\left\{a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right\} \\
& &- \left\{ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots + [ a+(n-1) d] r^n\right\} \\
& = & a+ \left[ dr + dr^2 + \cdots +dr^{n-1}\right] - [ a+(n-1)d ] r^n \\
& = & a + \left[ \frac{dr(1-r^{n-1})}{1-r}\right]-[a+(n-1)d]r^n\end{align}

在中间的项中使用等比数列的求和公式。最后左右两边同除以(1 − r)，得到最终结果。

逐项求导
:\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}

对等比数列和两边求导：

:\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-1)r^{k-2}=\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}

:\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=a\frac{r^n-1}{r-1}+dr[\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}]

裂项法
待定系数s,t使得等差-等比数列可以裂项：

:[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}

用裂项法可以求出数列和：

:\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t

求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式：

:dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s

:\displaystyle s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}

:\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]

差分算子公式
:\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)
:其中\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)

求出各阶差分：p(n)=a+(n-1)d,\Delta p(n)=d

:\displaystyle f(n)=\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}

:\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]

无穷级数
如果-1 ，那么其无穷级数为
:\lim_{n \to \infty}S_{n} = \frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r)^2}

如果r在上述范围之外，则该级数不是发散级数就是交错级数。

参见
*序列

参考文献