黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。

许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相关定义
给定无穷级数\sum_{n=1}^\infty a_n，其部分和为：S_n =\sum_{k=1}^n a_k。如果部分和的数列

:\left \{ S_1, \ S_2, \ S_3, \dots \right \}

收敛于某个数值：\ell，则级数收敛。也就是说，对于任何的\epsilon > 0，总存在一个整数N，使得如果n \ge N，则
:\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \epsilon.

那么级数\sum_{n=1}^\infty a_n收敛。如果级数\sum_{n=1}^\infty a_n收敛，但级数\sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert发散，则称此级数是条件收敛的。

定理的陈述
假设\sum_{n=1}^\infty a_n是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数C，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列\sigma : \, \, n \mapsto \sigma (n)，使得
:\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.
此外，也存在另一种排列\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n)，使得
:\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于-\infty，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

簡單來說，你可以藉由調換數列的其中幾項，使得這個新數列的級數的極限與原數列的不同；但是，這個方法可行的前提是原級數條件收斂，如果原級數絕對收斂的話，那麼這個方法就行不通。

例子
交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：
:A_{h} = \sum_n \frac{(-1)^{n+1}}{n}

收敛，而

:S_h = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_n \frac{1}{n}

是调和级数它是发散的（因為abs((-1)ⁿ)=1, for n in N（註：abs為絕對值absolute value之意）。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

:\left(1 - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)- \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) - \frac{1}{12} + \cdots
:那么这时的和等于\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}

可以看出，它的和是原来的和的一半。

趋近任一个实数
用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数 \sum_n \frac{1}{n}是发散的，它的部分和可以近似估计为：
:S_N = 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \gamma + \ln N + o(1) ,
其中o(1)表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，\gamma指欧拉常数。如果将调和级数A_{h}中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：
:A^{-}_h = - \frac12 - \frac14 -\frac16 - \frac18\cdots =-\frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots \right)
它的部分和是：
:A^{-}_N = - \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n} = - \frac12 \gamma - \frac12 \ln N + o(1) ,
因此所有正项相加的级数A^{+}_h = 1 + \frac13 + \frac15 +\frac17 + \cdots 的部分和是：
:A^{+}_N = A_N - A^{-}_N = \ln2 + \frac12 \left(\gamma + \ln N \right) + o(1) ,
这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数C，可以使用以下的算法来构造出趋向C的重排级数A^{\sigma}的每一项：
#从第一项起，将A_h中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过C为止：必定存在一个自然数N_1，使得 A^{+}_{N_1-1} \leqslant C+ （假设A_0 = 0）。将第1至第N_1项定义为：
#:\forall k = 1, 2, \cdots , N_1, \, \, \sigma(k) =2k-1
#从第N_1+1项开始，将A_h中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于C为止：必定存在一个自然数N_2 >N_1，使得A^{+}_{N_1} + A^{-}_{N_2-N_1 - 1} \leqslant C+ 。将第N_1+1至第N_2项定义为：
#:\forall k = N_1 + 1, N_1 + 2, \cdots , N_2, \, \, \sigma(k) = 2k-2N_1
交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和A_{N_k}^{\sigma}保持在C上下，而因为A_{N_k}^{\sigma}是重复第k步时首次“跨过”C时候的值，因而它与C的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是\frac{1}{N_k}。随着N_k越来越大，A_{N_k}^{\sigma}与C的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数A^{\sigma}最终会收敛于C。

证明
对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值C以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值C；其次，调和级数是由\frac{1}{n}相加而成，而随着n趋向无穷，\frac{1}{n}趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：
#所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
#级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.
就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一：

设有给定的条件收敛级数A = \sum_n a_n，级数和为S。为了简便起见，假设A中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。A中的正项和负项必定都有无穷多个。将A中所有大于0的项按照它们原来在A中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数A^+ = \sum_n a^+_n。同样可以建立由所有负项排列而成的级数A^- = \sum_n a^-_n。

A^+是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设A^+收敛到某个定值S^+，那么可以证明A^-也是收敛级数，级数和为S - S^+。因而可以证明，级数 \sum_{n=1}^\infty |a_n| = A^+ - A^-也是收敛级数，这与A是条件收敛级数的设定矛盾。所以，A^+发散到正无穷大。同理可证，A^-发散到负无穷大。

性质二：

设A = \sum_n a_n是一个条件收敛的级数，级数和为S。这说明，级数A的部分和S_N = \sum_{n=1}^N a_n趋向极限S。所以对任意\epsilon > 0，存在自然数M > 0使得对任意N > M，都有：
:| S_N - S |
所以对任意N > M+1，
:|a_{N}| = | S_{N} - S_{N-1} | \leqslant | S_N - S | + | S_{N-1} - S |
这说明当N趋于无穷大时，a_N趋于0.

证明了性质一与性质二後，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数C，不妨假设C \geqslant 0. 首先将A^+的项按顺序累加，直到部分和超过C为止，然后再将A^-的项按顺序累加在其後，直到部分和小于C为止，接着再将A^+剩余的项按顺序累加在其後，直到部分和超过C为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，A^+和A^-都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与C会越来越接近。因为无论是在部分和低于C，逐项增加到超过C的过程中，还是在部分和超过了C，逐项减少到低于C的过程中，部分和与C的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”C值的那一刻，部分和与C的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”C值时的“步长”。假设第k次“跨越”的是在累加第N_k项的时候发生的，那么直到第k+1次“跨越”时，部分和与C的差距都小于等于a_{N_k}。随着k趋于无穷大，N_k也趋于无穷大，因而根据性质二，a_{N_k}趋于0，也就是说部分和与C的差距趋于0。这等价于说重排後的级数A^\sigma收敛于C。

如果C，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第k次累加正项要超越的值从C改为C+k，然后累加负项直到低于C+k，再开始第k+1次累加正项直到超越C+k+1，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。

推廣
此定理可推廣至。給定一個複數收斂級數，則重排後的級數之和有以下幾種可能：

• 級數為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
• 級數為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

::L = \{a + t b : t \in \mathbf{R} \}, \quad a, b \in \mathbf{C}, \ b \ne 0

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。

参考来源
*Weisstein, Eric (2005). [http://mathworld.wolfram.com/RiemannSeriesTheorem.html Riemann Series Theorem]. 于2005年5月16日访问。