拉普拉斯極限

拉普拉斯極限是指可以使克卜勒方程的級數解收斂的最大離心率，其數值約為

: 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

克卜勒方程M = E − ε sin E，描述物體在一離心率為ε的橢圓軌道上，其平近點角M和偏近點角E之間的關係，E無法以初等函数表示，但利用可以得到以下的幂級數：

: E = M + \sin(M) \, \varepsilon + \tfrac12 \sin(2M) \, \varepsilon^2 + \left( \tfrac38 \sin(3M) - \tfrac18 \sin(M) \right) \, \varepsilon^3 + \cdots

或是以下的通式

: E = M \;+\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^n}{2^{n-1}\,n!} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\,\binom{n}{k}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)

拉普拉斯發現此級數只在離心率較小時收斂，當離心率超過一定值時，只要M不是π的倍數，就會發散。其收斂半徑即為拉普拉斯極限。

拉普拉斯極限也是函數 \frac{x}{\text{cosh} (x)} 的最大值

拉普拉斯極限是以下超越方程的唯一實數解
:\frac{x\exp(\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1

István Mező.曾找到以r-Lambert特殊函數以及無窮級數表示的封閉形式。

歷史
拉普拉斯在1827年計算的數值是0.66195。義大利天文學家弗朗切斯科·卡利尼比拉普拉斯早五年找到極限值0.66，柯西在1829年找到其精確值0.66274。

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*軌道離心率

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外部連結
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