审敛法

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。

判别法列表
通项极限判别法
如果序列通项的极限不为零或无定义，即\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\ne0，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法（检比法）
假设对任何的n，a_n>0。如果存在r使得：
:\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r
如果r，那么级数绝对收敛。如果r>1，那么级数发散。如果r=1，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法
设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始） a_n>0 。倘若其相邻项比值\frac{a_n}{a_{n+1}}可以被表示为：

\frac{a_n}{a_{n+1}} = \lambda + \frac{\mu}{n} + \frac{\theta_n}{n^2}

其中\lambda和\mu都是常数，而\theta_n是一个有界的序列，那么

• 当\lambda>1或\lambda=1,\mu>1时，级数收敛；
• 当\lambda或\lambda=1,\mu\le 1时，级数发散。

根值审敛法（检根法）
:r=\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]

其中\limsup表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果r，级数绝对收敛。如果r>1，级数发散。如果r=1，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

积分判别法
级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令f(n)=a_n为一正项单调递减函数。如果：
:\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}f(x)\,dx
那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

比較審斂法
如果\sum^\infty_{n=1} b_n是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n，有|a_n|\leq|b_n|，那麼級數\sum^\infty_{n=1} a_n也絕對收斂。

極限比較審斂法
如果\left\{a_n\right\}\geq 0,\left\{b_n\right\}>0，并且极限\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}存在非零，那么\sum_{n=1}^\infty a_n收敛当且仅当\sum_{n=1}^\infty b_n收敛。

交错级数判别法
具有以下形式的级数\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n\!。其中所有的a_n非负，被称作交错级数。如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_{n-1}（即数列a_n是单调递减的），那么级数收敛。如果L是级数的和\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=L\!那么部分和S_k=\sum_{n=0}^k(-1)^na_n\!逼近L有截断误差\left|S_k-L\right\vert\le\left|S_k-S_{k-1}\right\vert=a_k\!。

阿贝尔判别法
给定两个实数项数列\{a_n\}和\{b_n\}，如果数列满足\sum^{\infty}_{n=1}a_n收敛，\{b_n\}是单调且有界的，则级数\sum^{\infty}_{n=1}a_nb_n收敛。

参阅

• 狄利克雷判别法
• 拉比判别法

参考文献
外部链接

• [http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf Flowchart for choosing convergence test]
• [http://www.math.unh.edu/~jjp/radius/radius.html Convergence of infinite series]