在解析數論中，梅滕斯定理指的是三個弗朗茨·梅滕斯在1874年證明的定理，這些定理與質數密度相關。
以下假定p\le n指的是所有不超過n的質數。
梅滕斯第一定理
梅滕斯第一定理指的對於任何的 n\ge 2而言，以下式的絕對值不會超過2（）：
: \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p} - \log n
梅滕斯第二定理
梅滕斯第二定理如下：
:\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p -\log\log n-M\right) =0,
其中M是Meissel–Mertens常數（）；更精確地說，梅滕斯Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次：
:\sum_{p\le n}\frac1p -\log\log n-M
此外，以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次：
:\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)-e^{-\gamma}
Robin的結果類似於李特爾伍德證明的「\pi(x)-{\rm Li} (x)這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚沒有類似於斯奎斯數這樣，最小的導致變號的自然數的上界。
與質數定理間的關係
梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》（two curious formula of Legendre）這篇論文中論及了這個漸近公式應當注意的是，歐拉在1737年就已知該公式的漸近行為。
梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明，在現代標準下都是不可接受的：歐拉的計算牽涉到無限（以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數）；勒讓德的論證是啟發性的；而切比雪夫證明，盡管邏輯上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為質數定理的勒讓德─高斯猜想。
梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想，且只用到基本的實分析，而這證明出現在質數定理得證的22年之前；而與之相對地，質數定理仰賴對做為複數域上的函數的黎曼ζ函數的行為的詳細分析。
由此來看，梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的，事實上，以當今慣用的大O符號表記，其論述如下：
:\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(1/\log x)
而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理，可證明下式成立：
:\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+o(1/\log x).
在1909年，愛德蒙·蘭道（Edmund Landau）用他當時可得的最好的質數定理的版本，證明了下式成立：
:\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})
特別地，對任何固定數k而言，這誤差項小於1/(\log x)^k
對已知的最強版本使用簡單的分部求和技巧，可將之改進為：
:對於一些c > 0而言，有\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}})
類似地，使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了\sum_{p\le x} \frac{\log p}{p} = \log x+ C+o(1)。
梅滕斯第三定理
梅滕斯第三定理如下：
:\lim_{n\to\infty}\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma} \approx 0.561459483566885,
其中\gamma是歐拉-馬斯刻若尼常數。（）
與篩法的關係
對於「X（X \gg n）沒有小於n的因子的機率」的估計，可由下式給出：
:\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)
這與梅滕斯第三定理密切相關，因為梅滕斯第三定理給出了下式的漸近估計：
:P(p \nmid X\ \forall p \le n) = \frac{1}{e^\gamma \log n }
參考資料
延伸閱讀
及所著的《以初等技巧解決挑戰性數學問題》（Challenging mathematical problems with elementary solutions*）第二版中的問題第171、173跟174。
外部連結
*
*
*
*Varun Rajkumar, [https://docs.google.com/document/d/1yzj1QZZzmqVG4ow6ScTR5bX5mDOKxNVkQGX7G-HAJfQ/edit?usp=sharing π(x) and the Sieve of Eratosthenes]
评论 (0)