拉比判別法（）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。
定理
对任意级数\sum_{n=1}^{\infty }a_n
如果存在 r>1 ，n_0\in \mathbb{N}^{} ,使得当 n>n_0 时，有
:: n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\geq r，
:那么级数\sum_{n=1}^{\infty }a_n绝对收敛。
*如果对充分大的 n ，有
::n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\leq 1，
:那么级数\sum_{n=1}^{\infty }a_n发散。
证明
*当 r>1 时，存在 p 使得 r > p > 1. 则:
:\lim_{n\to \infty} n\left(\left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right) = r > p =\lim_{ n\to \infty} n\left(\left(1+\frac {1}{n}\right)^p-1\right)
:\Rightarrow \quad n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right) > n\left(\left(1+\frac {1}{n}\right)^p-1\right) \quad 对充分大的 n
:\Rightarrow \quad \left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right| > \frac {(n+1)^p}{n^p}
:\Rightarrow \quad \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |
因为当 p>1 时级数 \sum n^{-p} 收敛，故级数 \sum_{n=1}^{\infty }\left| a_n \right| 在 r>1 时收敛，即级数 \sum_{n=1}^{\infty }a_n 绝对收敛。
*当 r 时，有
:n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\leq 1,，则
:\left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right|\leq 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}，即
:\left|\frac {a_{n+1}}{a_n}\right|\geq \frac{n}{n+1}= \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}
:由于 \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} 发散，故 \sum_{n=1}^{\infty }a_n 发散。
参考文献
评论 (0)