在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。
一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 f(n)所对应的级数\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series）\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) 收敛。 且此极限（如果存在）满足以下不等式：
: 0 \ \leq\ \sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\ \leq\ 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ +\infty
换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。
推导
要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。
: \sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\
: \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\ \leq\ 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\
第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质（单调递减）。
:\begin{array}{rcccccccl}
\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n) & = &f(1) & + & f(2) + f(3) & + & f(4) + f(5) + f(6) + f(7) & + & \cdots \\
& = &f(1) & + & \Big(f(2) + f(3)\Big) & + & \Big(f(4) + f(5) + f(6) + f(7)\Big) & + &\cdots \\
& \leq &f(1) & + & \Big(f(2) + f(2)\Big) & + & \Big(f(4) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) & + &\cdots \\
& = &f(1) & + & 2 f(2) & + & 4 f(4)& + &\cdots = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} f(2^{n})
\end{array}
相似地，第二个不等式也需要我们重新组合和替换。
:\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) & = & f(1) + \Big(f(2) + f(2)\Big) + \Big(f(4) + f(4) + f(4) +f(4)\Big) + \cdots \\
& = & \Big(f(1) + f(2)\Big) + \Big(f(2) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) + \cdots \\
& \leq & \Big(f(1) + f(1)\Big) + \Big(f(2) + f(2) + f(3) + f(3)\Big) + \cdots = 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)
\end{array}
:
註釋
- Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. .
外部連結
- [http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_conden.html Cauchy condensation test proof]
评论 (0)