博雷尔-卡拉西奥多里定理

在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述
设函数f在以原点为圆心以R为半径的闭圆盘上解析。假设r，则有以下不等式：

\|f\|_r\le\frac{2r}{R-r}\sup_=\max_

证明
定义A=\sup_\le |z|

取|z|，上式变为

R|f(z)|\le r|f(z)-2A|\le r|f(z)|+2Ar

所以

|f(z)|\le\frac{2Ar}{R-r}

对于一般的情况，考虑f(z)-f(0)

\begin{align} |f(z)|-|f(0)| & \le |f(z)-f(0)| \\
&\le \frac{2r}{R-r}\sup_\right) \\ \end{align}

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.