欧米加常数

欧米加常数是一个数学常数，定义为：

:\Omega\,\exp(\Omega)=1.\,

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。

Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 。它具有以下的性质：

: e^{-\Omega}=\Omega,\,

或

: \ln (1/\Omega) = \Omega.

我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω0开始，用下面的数列进行迭代：

: \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.\,

当n→∞时，这个数列收敛于Ω。

无理数和超越数
我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数，则存在整数p和q，使得

: \frac{p}{q} = \Omega

所以

: 1 = \frac{p e^{\frac{p}{q}}}{q}

: e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

这样，e就是p次代数数。但是，e实际上是超越数，所以Ω一定是无理数。

Ω实际上也是一个超越数，这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数，exp(Ω)将会是超越数，exp−1(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

参见

• 朗伯W函数

参考文献
*Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega .
*Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.

外部链接
*