高斯积分
高斯积分（），有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个實數線上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏。 :\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} 高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子…
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共 95 篇文章
隐函数定理
在数学分析中，隐函数定理（）是一個用來回答下面的問題的工具： 以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？ 隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x,y) = 0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 可以表示成关于 的函数： :y =h(x) 这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。 舉一個簡單例子：假設兩個變量 滿足隱函數 ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的…
连续映射定理
概率论中，连续映射定理（）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。 海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 x_n\rightarrow x 那么 g(x_n)\rightarrow g(x)。连续映射定理指出，如果把确定的数列\{x_n\}替换为一列随机变量\{x_n\}，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。 敍…
达布定理
在实分析中，达布定理（）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若f为可导函数，则对任意区间I，f'(I) 仍为区间。 当函数 f 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f' 不连续时，达布定理说明 f' 仍具有介值性质。 内容 设f\colon [a,b]\to \R为闭区间[a,b]上的可导实函数，那么对介于f'(a)和f'(b)之间的任意y，…
贝亚蒂定理
在数论中，贝亚蒂定理（），又稱瑞利定理（）指：若 p,q \in \mathbb{R^+} ,p,q \not\in \mathbb{Q} 使得 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，它們所生成的贝亚蒂數列（）P = \{\lfloor np \rfloor : n \in\mathbb Z^+ \}, Q=\{\lfloor nq \rfloor : n \in\mathbb Z^+\}，构成正整数集的一个劃分：…
沃利斯乘积
沃利斯乘積，又称沃利斯公式，由數學家約翰·沃利斯在1655年时发现。 : \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \c…
夾擠定理
夾擠定理（），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 定义 設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有： g(x) \leq f(x) \leq h(x) \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a}…
欧拉函数
{{Otheruses|subject=小於等於n的正整數中與n互質的數的數目|other=形式為\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)的函數|歐拉函數 (複變函數)}} 在數論中，對正整數n，歐拉函數\varphi(n)是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。 例如，因為…
盖尔范德–奈马克–西格尔构造
在数学分支泛函分析中，对于给定的C-代数 \mathcal A ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C-代数的循环-表示与该C-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 和。 C-代数的态与表示 C-代数 \mathcal A 在希尔伯特空间 H 上的-表示是 \mathcal A 到 …
导数列表
以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 一般求导法则 ;線性法则 :{\mbox{d}(Mf)\over\mbox{d}x}=M{\mbox{d}f\over\mbox{d}x};\qquad [Mf(x)]'=Mf'(x) :{{\mbox{d}(f\pm g)}\over{\mbox{d}x}}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}\pm{\mbox…
充分统计量
在統計學中，一個關於一個統計模型和相關的未知母數的充分統計量（Sufficient Statistic）是指“没有任何其他可以以同一樣本中計算得出的統計量可以提供任何有關未知參數的额外訊息”。 数学定义 对于统计量 t=T(X) ，若数据 X 在已知 t = T(X) 时的条件分布不依赖于参数 \theta ，则称其是关于参数 \theta 的充分统计量。即对任何博雷尔集 A ，有\text{Pr}(x\in A|t,\theta)=\…
洛必达法则
洛必達法則（又稱罗比塔法则）（，）是一种利用導數來計算具有不定型極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 敘述 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令c \in \bar{\mathbb{R}}（擴展實數），兩函數f(x), g(x)在以x=c為端點的開區間可微，\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\in \bar{\mathbb{R…
刘维尔定理 (复分析)
刘维尔定理（）是数学中复分析的一个定理，由19世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域\mathbb{C}上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。 简介 整函数是指从复数域\mathbb{C}射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为…
四平方和定理
四平方和定理 （） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 历史 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个以下的恒等式： (a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2 根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其…
排容原理
排容原理（inclusion-exclusion principle）又称-{zh-hans:容斥原理;zh-hant:容斥原理;zh-cn:排容原理;zh-sg:排容原理}-、取捨原理，在組合數學裏，其說明若A_1, \cdots, A_n 為有限集，則 \begin{align} \left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {} & \sum_{i=1}^n |A_i| - \sum_{1 \le i 其中…
海涅-博雷尔定理
在数学分析中，海涅-博雷尔定理（）或有限覆盖定理、博雷尔-勒贝格定理（），以愛德華·海涅和埃米尔·博雷尔命名。斷言： 对于欧几里得空间 Rn 的子集 S，下列两个陈述是等价的: S 是闭合并且有界的 所有 S 的开覆盖有有限子覆盖，也就是说 S 是紧致的。 在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的 …
罗尔定理
以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可微分； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使得f^\prime(\xi)=0。 证明 首先，因为f在闭区间[a,b]上连续，根据极值定理，f在[a,b]上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点a或b…
棣莫弗公式
棣莫弗公式（英語：de Moivre's formula）是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其內容為對任意实数x和整數n，下列性質成立： :( \cos (x) + i \sin (x) )^n = \cos (nx) + i \sin (nx) 其中i是虛數單位（i^2=-1）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將\cos …
Π的莱布尼茨公式
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明 :\; \frac{\pi}{4}\!=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \; 右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到\frac{\pi}{4}。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用…
乘积法则
乘积法则（），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。 若已知两个可導函数f,g及其导数f',g'，则它们的积fg的导数为： :(fg)'=f'g+fg' \, 這個法則可衍生出积分的分部積分法。 莱布尼兹的发现 人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是： : \begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + …