在数学分支泛函分析中，对于给定的C-代数 \mathcal A ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C-代数的循环-表示与该C-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 和。
C*-代数的态与表示
C-代数 \mathcal A 在希尔伯特空间 H 上的-表示是 \mathcal A 到 B(H) 的 *-同态 \pi ，其中 B(H) 是 H 上有界算子构成的代数。换句话说，\pi 是将 \mathcal A 上的对合映为 B(H) 上的对合的代數同態。
下文提及 -表示时，将默认讨论的是非退化的-表示。也就是说线性生成空间 \pi(\mathcal A)H 是 H 的稠密子集。注意，若 \mathcal A 有单位元，则非退化性蕴含了 \pi 的保单位元性质，即 \pi 将 \mathcal A 的单位元映射到 H 上的恒等算子 I 。
C-代数 \mathcal A 上的态是范数为 1 的正线性泛函 f 。若 \mathcal A* 具有乘法单位元，则此条件等价于 f(1_{\mathcal A})=I 。
对于希尔伯特空间 H 上的C*-代数 \mathcal A 的表示 \pi 以及 \xi\in H ，如果向量集
: \{\pi(x)\xi:x\in A\}
在 H 中范数稠密，则 \xi,\pi 分别被称为是循环向量和循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。
GNS 构造
令 \pi 为C-代数 \mathcal A 在希尔伯特空间 H 上的-表示，单位向量 \xi 对于 \pi 而言是循环向量。那么 a \mapsto \langle \pi(a) \xi, \xi\rangle 是 \mathcal A 上的一个态。
反过来，通过选择一种典范的表示， \mathcal A 的每个态都可以被视为如上所述的向量态。
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| 1 = 构造希尔伯特空间 H
定义 \mathcal A 上的一个正半定半线性形式如下
\langle a, b \rangle =\rho(b^*a), \; a, b \in A.
根据柯西-施瓦茨不等式， \mathcal A 中的退化元（也就是说即满足 \rho(a^a)=0 的 a ）构成了 \mathcal A 的一个子空间 \mathcal I 。通过C-代数式的论证，可以证明 \mathcal I 是 \mathcal A 的一个左理想（即 \rho 的左核)。实际上，它是 \rho 的核所含的最大的左理想。商空间 \mathcal A/\mathcal I 可配备内积 \langle a+I,b+I\rangle :=\rho(b^*a),\; a,b\in A 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化便得到被记作 H 的希尔伯特空间.
| 2 = 构造表示 \pi
为定义 \mathcal A 到 B(H) 上的映射 \mathcal A ，先定义 \pi 到 B(\mathcal A/\mathcal I) 上的映射。为此对于 a\in\mathcal A ，定义算子 \pi(a) 的行为如下： \pi(a)(b+\mathcal I)=ab+\mathcal I ，其中 x+\mathcal I 表示商空间中的 x\in\mathcal A 所属的等价类。类似前面对 \mathcal I 是左理想的证明，可以证明前述的算子 \pi(a) 是有界的，故可以唯一地扩张为 H 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随的定义， \pi 显然是保对合的，至此便证明了它是一个*-同态。
| 3 = 找出循环单位向量 \xi
若 \mathcal A 有乘法单位元 1 ，则显然 \mathcal A 中单位元所在的等价类就是 H 中相对于 \pi 而言的循环向量 \xi 。若 \mathcal A 没有乘法单位元，可考虑 \mathcal A 的 \{e_\lambda\} 。由于正线性泛函有界， \{e_\lambda\} 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 \xi\in H ，即所要寻找的循环向量。
根据 H 上内积的定义，态 \rho 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来，于是此定理证毕。
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在上述定理的证明中，根据 \mathcal A 上的态产生*-表示的方法称为GNS构造。
对于C*-代数 \mathcal A 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 \rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle 唯一确定了。下面的定理说明了这一点：
GNS构造的重要性
GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心，该定理将C-代数刻画为算子代数。一个C-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。
全体态对应的GNS表示的直和称为 \mathcal A 的万有表示，其包含有每个循环表示。由于每个-表示都是循环表示的直和，因此 \mathcal A 的每个 -表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。
若 \Phi 是 C-代数 \mathcal A 的万有表示，则 \Phi(\mathcal A) 在弱算子拓扑中的闭包称为 \mathcal A 的包络冯诺依曼代数。它可以视为是双对偶 \mathcal A^{*} 。
不可约性
不可约*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。 H 上的表示 \pi 是不可约的，当且仅当 H 没有非平凡的在任一 \pi(x) 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 H, \{0\} 。
这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。
作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的 X 上的连续函数所构成的C*-代数 \mathcal C(X) ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作 X 上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据，极点态则对应于狄拉克测度。
另一方面， \mathcal C(X) 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 \mathcal C(X) 对应于测度 \mu 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 \mu 是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。
为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 \pi(\mathcal A) 的中心化子（记作 \pi(\mathcal A)' ）由单位元的标量倍数构成。
\mathcal A 上任一被 f 控制的正线性泛函 g 具有形式 g(x^*x) = \langle \pi(x) \xi, \pi(x) T_g \, \xi \rangle, 其中 T_g\in\pi(\mathcal A)' 是某个正算子，其在算子序下满足 0\leq T \leq1。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。
对于这样的 g ，可以将 f 写为如下正线性泛函的和： f = g + g' 。因此 \pi 幺正等价于 \pi_g \oplus \pi_{g'} 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 \pi_g 都幺正等价于 \pi ，即 g 是 f 的标量倍数， \pi 才是不可约的。于是便证明了该定理。
上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。
上述C-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B-代数。
推广
刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。
历史
盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。
西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。
参见
- 斯坦斯普林扩张定理
参考资料
- William Arveson, An Invitation to C-Algebra*, Springer-Verlag, 1981
Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory*, American Mathematical Society. .
- Jacques Dixmier, Les C-algèbres et leurs Représentations*, Gauthier-Villars, 1969.
English translation:
- Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, – [https://books.google.com/books?id=S8sZiieo-04C&pg=PA371 Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)]
- Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, , p. 107–134 – [https://books.google.com/books?id=xuq8CHNEFKoC&pg=PA113 section 4. The GNS construction (p. 113)]
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内联引用
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