连续映射定理

概率论中，连续映射定理（）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 x_n\rightarrow x 那么 g(x_n)\rightarrow g(x)。连续映射定理指出，如果把确定的数列\{x_n\}替换为一列随机变量\{x_n\}，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。
这个定理第一次由证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。

敍述
設X_n\ (n = 0, 1, \ldots)和X為度量空间S中的随机元素，又設g: S \to S'為自S至另一個度量空間S'的函數，其不连续点集D_g滿足\mathbb P(X \in D_g) = 0，則：

:
\begin{align}
X_n \ \xrightarrow\text{d}\ X \quad & \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow\text{d}\ g(X); \\[6pt]
X_n \ \xrightarrow\text{p}\ X \quad & \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow\text{p}\ g(X); \\[6pt]
X_n \ \xrightarrow{\!\!\text{a.s.}\!\!}\ X \quad& \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow{\!\!\text{a.s.}\!\!}\ g(X).
\end{align}

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂、依概率收斂、殆必收斂。

参考資料