乘积法则

乘积法则（），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数f,g及其导数f',g'，则它们的积fg的导数为：

:(fg)'=f'g+fg' \,

這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现
人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是：

:
\begin{align}
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}

由于du\cdot dv的，因此有：

:d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,

两边除以dx，便得：

:\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

:(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,

例子
*假设我们要求出f(x)=x^2 \sin(x)的导数。利用乘积法则，可得f'(x)=2x \sin (x)+x^2 \cos(x)（这是因为x^2的导数是2x，\sin(x)的导数是\cos(x)）。
*乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果c是实数，f(x)是可微函数，那么cf(x)也是可微的，其导数为(c\times f)'(x)=c\times f'(x)。
*乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积
假设

: h(x) = f(x)g(x),\,

且f和x在x点可导。那么：

:h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

现在，以下的差

: f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

: f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

因此，(1)的表达式等于：

:\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

: \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)

• \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).

\qquad\qquad(5)

现在：

:\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

因为当w\rightarrow x时，f(x)不变；

: \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

因为g在x点可导；

: \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)

因为f在x点可导；以及

: \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

: f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

证明二：使用对数
设f = uv，并假设u和v是正数。那么：

:\ln f = \ln u + \ln v.\,

两边求导，得：

:{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v

把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得：

:{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.

证明三：使用导数的定义
设 h(x) = f(x)g(x),\,

且f和g在x点可导。那么：

h'(x) = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}} = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}
:: = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}
:: = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)] \cdot g(x+\Delta{x}) + f(x) \cdot [g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}}
:: = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}} \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} g(x+\Delta{x})

• \lim_{\Delta{x}\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}}

::= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

推廣

• 若有n个函数f_1,f_2,...,f_n，则：

: \left( {\prod_{k = 1}^n {f_k } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)}

• （萊布尼茲法則）若f,g均為可導n次的函數，則fg的n次導數為：

: (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

其中{n \choose k}是二項式係數。

应用
乘积法则的一个应用是证明以下公式：

: {d \over dx} x^n = nx^{n-1}

其中n是一个正整数（该公式即使当n不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n=1，\frac{d}{dx}x^1=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}

假设公式对于某个特定的k成立，那么对于k+1，我们有：

:\begin{align}
{d \over dx}x^{k+1} &{}= {d \over dx}\left( x^k\cdot x\right) \\ \\
&{}= x{d \over dx} x^k + x^k{d \over dx}x \\ \\
&{}= x\left(kx^{k-1}\right) + x^k\cdot 1 \\ \\
&{}= (k+1)x^k.
\end{align}

因此公式对于k+1也成立。

参见

• 除法定则
• 倒数定则
• 鏈式法則
• 分部积分法