刘维尔数

如果一个实数x满足，对任意正整数n，存在整数p, q，其中q > 1有

: 0

就把x叫做刘维尔数。

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。

基本性质
容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)。
取足够大的n使{2^{n-1}} > d，在 \frac{c}{d} \ne \frac{p}{q} 时有

: \left| x - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}

与定义矛盾。

刘维尔常数
即

:
c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots

这是一个刘维尔数。取

: p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}, \quad q_n = 10^{n!}

那么对于所有正整数n

:\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots

超越性
所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和\pi就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明
刘维尔定理：若无理数 \alpha 是代数数，即整系数n次多项式f的根，那么存在实数A > 0，对于所有 p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 有

: \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n}

证明：令 M = \max \left\{ \left|f'(x)\right| | x \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \right\} ，记f的其它的不重复的根为
\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m，取这样的A

: 0

如果存在使定理不成立的p, q，就有

: \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A

那么， \frac{p}{q} \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \land \frac{p}{q} \notin \left\{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \right\}

据拉格朗日中值定理，存在\alpha和\frac{p}{q}之间的x_0使得

: f(\alpha)-f(p/q) = (\alpha - p/q) \cdot f'(x_0)

有

: \left\vert (\alpha -p/q)\right\vert = \left\vert f(\alpha)- f(p/q)\right\vert / \left\vert f'(x_0) \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x_0) \right\vert \,

f是多项式，所以

: \left\vert f(p/q) \right\vert = \left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right\vert}{q^n} \ge \frac {1}{q^n}

由于 \left| f'(x_0) \right| \le M 和 1/M > A

: \left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x_0) \right\vert \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数x，它是无理数，如果它是代数数则

: \exists n \in \mathbb Z, A > 0 \forall p, q \left( \left\vert x - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right)

取满足 \frac{1}{2^r} \le A 的正整数r，并令 m = r + n ，存在整数 a, b 其中 b > 1 有

: \left|x-\frac ab\right|

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参考文献
参见

• 丢番图逼近

外部链接

• [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf The Beginning of Transcendental Numbers]