反函数的微分

数学上，可導雙射函數f的反函數微分可由f的導函數f'給出。若使用拉格朗日记法，反函数f^{-1}{{註|f^{-1}為f的反函數，意思是若y = f(x)，則x = f^{-1}(y)。准确定义请参阅反函数。}}的导数公式为：

: \left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)},

该表述等价于

: \mathcal{D}\left[f^{-1}\right]=\frac{1}{(\mathcal{D} f)\circ \left(f^{-1}\right)},

其中 \mathcal{D} 表示一元微分算子（在函数的空间上），\circ 表示二元复合算子。

記y = f(x)，則上式可用莱布尼兹符号寫成：

: \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1.
換言之，函數及其反函數的导数均可逆，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为

: \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx},

而 x 相对于 x 的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 .镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。

假设 f 在x的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

反函数举例

• \,y = x^2（x为正）具有逆 x = \sqrt{y}中。

: \frac{dy}{dx} = 2x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}
: \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = 2x \cdot\frac{1}{2x} = 1.

但是，在 有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

• \,y = e^x ( x为实数)具有逆 \,x = \ln{y}（y为正值）

: \frac{dy}{dx} = e^x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}

: \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = e^x \cdot \frac{1}{y} = \frac{e^x}{e^x} = 1

其他属性

• 对反函数积分有如下公式

:: {f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + \mathrm{C}

可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

高阶导数
上面给出的链式法则是通过对等式x= f^{-1}(f(x))关于x微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对x求导两次，得到

: \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d}{dx} \left(\frac{dx}{dy}\right)\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0,

使用链式法则进一步简化为

: \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0.\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0

用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到

: \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3.

对三阶导数类似：

: \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 -
3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2

或者用二阶导数的公式，

: \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 +
3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果 f和 g是互逆的，则

: g(x) = \frac{-f(g(x))}{[f'(g(x))]^3}

反函数的微分举例

• \,y = e^x 有逆运算\,x = \ln y。使用反函数的二次导数公式，

: \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3;

于是，

:
\frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}
,

与直接计算相同。

注释
参见

• 微积分
• 反函数
• 链式法则
• 反函数定理
• 隐函数定理
• 反函数的积分